Mundarija Kirish I bob. Topologik fazolarning xossalari

1.3.8.Teorema. Ikkinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiruvchi fazo separabel fazodir.
Isbot. topologik fazo va uning sanoqli bazasi ( topologiyaning) bo‘lsin. Har bir to‘plamdan bittadan element tanlab olamiz va ulardan to‘plamni tuzamiz. , ya’ni to‘plam da mutloq zich. Ma’lumki, tenglik o‘rinli. Shu sababli ning ixtiyoriy nuqtasi to‘plam uchun limit nuqta ekanligi yetarlidir. Ixtiyoriy nuqtani olaylik va uning birorta atrofi bo‘lsin. sistemaning baza ekanligidan shunday to‘plam topiladiki, uning uchun va . Shu sababli va , binobarin, .
Yuqorida keltirilgan 2.6.7-misoldan ko‘rinadiki, buning aksi o‘rinli emas. Ya’ni separabel fazolar ikkinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantirmaydi. Lekin metrik fazolar uchun teskari jumla ham o‘rinlidir.
1.3.9.Teorema. Ixtiyoriy separabel metrik fazolar ikkinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiradi.
1.3.10.Teorema. (Tixonov) Ixtiyoriy sanoqli bazaga ega bo‘lgan regulyar fazo normaldir.
1.3.11.Teorema. Ixtiyoriy metrik fazo normaldir.
Topologik fazoda birinchi va ikkinchi sanoqlilik aksiomalari kiritilgandan keyin bu tushunchalar bilan bevosita bog‘liq fazoning salmog‘i va fazoning zichligi tushunchalari ham ko‘p foydalaniladi.
1.3.14.Ta’rif. topologik fazoda mutloq zich to‘plamlarning eng kichik quvvatlisi uning zichligi deyiladi va ko‘rinishida belgilanadi.
Ta’rifga ko‘ra, , bu yerda bilan to‘plam quvvati (kardinal son) belgilanadi.
Demak, topologik fazo separabel bo‘lsa, u holda uning zichligi ga teng ekan. Ya’ni, uning zichligi sanoqli to‘plam quvvatiga tengdir. Diskret topologik fazolar uchun esa, o‘rinli ekan. Ixtiyoriy topologik fazo uchun esa, tengsizlik doimo o‘rinlidir.
1.3.15.Ta’rif. topologik fazo bazalarining eng kichik quvvati topologik fazoning salmog‘i deyiladi va jamlanma ning bazasi deb belgilanadi.
Diskret topologik fazolar uchun uning salmog‘i fazoning quvvatiga teng bo‘lar ekan. Ya’ni, . Boshqa hollarda tengsizlik doimo o‘rinlidir.