Muhandislik grafikasi va kompyuterda loyihalash

3-misol. Proyeksiya tekisliklari shunday almashtirilsinki, be­rilgan AB to’g’ri chiziq yangi tekisliklardan biriga, masalan, H₁ ga proyeksiyalovchi (perpendikulyar) bo’lib qolsin (6-rasm). Avvalo V tekislikni AB ga parallel bo’lgan yangi V₁ tekislik­ka almashtiramiz. Buning uchun O₁X₁ || A′B′ qilib chizamiz va chiziqning yangi frontal proyeksiyasi (A″₁,B″₁) ni yasaymiz. Keyin H tekislikni V₁ ga va AB ga perpendikulyar bo’lgan yangi H₁ tekislikka almashtiramiz. Buning uchun O₂X₂ o’qini A″₁B″₁ ga perpendikulyar qilib, chizmaning istalgan joyidan o’tkazamiz va chiziqning yangi go­rizontal proyeksiyasi (A′₁B′₁) ni topamiz.
Shunday qilib, yangi V₁H₁ sistemada AB to’g’ri chiziq N₁ ga perpendikulyar, chunki uning frontal proyeksiyasi a″₁b″₁O₂X₂, yangi gorizontal proyeksiyasi (A′₁B′₁) esa bir nuqta bo’lib koldi.
Uchinchi misoldagi yasashdan foydalanib:
1) parallel to’g’ri chiziqlar orasidagi masofani;
2) uchrashmas ikki to’g’ri chiziq orasidagi qisqa masofani;
3) nuqtadan umumiy vaziyatdagi to’g’ri chiziqgacha bo’lgan maso­fani;

6-rasm.
4) ikki yoqli burchaklarning kattaligini (bunda yangi proyeksiya o’qlari ikki yoqli burchak qirrasining proyeksiyalariga qarab chiziladi); berilgan masofada joylashgan parallel chiziqlarning proyek­siyalarini;
5) tekis shaklning haqiqiy ko’rinishi va uning proyeksiya tekisliklari bilan hosil qilgan burchaklarini topish mumkin.


4-misol. Proyeksiyalar tekisliklaridan biri, masalan, V tekislik V₁ ga shunday almashtirilsinki, berilgan ΔABC yangi tekislikga proyeksiyalovchi bo’lib qolsin (7-rasm.).

7-rasm.
Berilgan ABC uchburchak yangi sistemada frontal proyeksiyalovchi bo’lib qolishi uchun yangi H₁ tekislik ABC uchburchakga ham, H tekislikga ham perpendikulyar bo’lishi kerak.
Buning uchun berilgan uchburchakda CD gorizontal o’tkazamiz va tekislikni gorizontalga perpendikulyar qilib olamiz. Shu maqsadda V₁ tekislikning gorizontal izini, ya’ni O₁X₁ o’qini gorizontalning gorizontal proyeksiyasiga perpendikulyar (O₁X₁C′D′) qilib chizamiz.
Uchburchakning yangi frontal proyeksiyasi (A″₁B″₁C″₁) bir to’g’ri chiziq tarzida bo’ladi. Demak, ABC uchburchak V_l ga perpendikulyar, ya’ni frontal proyeksiyalovchi tekislik bo’lib qoldi.
To’rtinchi misoldagi yasashdan foydalanib, yuqorida keltirilgan ikkinchi misolning hamma masalalarini yechish mumkin.
5-misol. Berilgan umumiy vaziyatdagi ABC uchburchakning tekis­ligi yangi sistemadagi proyeksiyalar tekisliklaridan biriga, masalan, H₁ ga parallel bo’lib qolsin (7-rasm).
Buning uchun, avvalo, V tekislikni ABC uchburchakka perpendi­kulyar bo’lgan gorizontal proyeksiyalovchi V₁ tekislikga almashtirib, V₁H sistemaga o’tamiz va uchburchakning yangi frontal proyeksiyasi (A″B″C″) ni yasaymiz. Keyin H tekislikni uchburchakka parallel bo’lgan H₁ tekislikga almashtiramiz. Bu maqsadda O₂X₂ o’qini uchbur­chakning yangi frontal proyeksiyasiga parallel (O₂X₂ || A″₁B″₁C″₁) qilib chizamiz va uchburchakning yangi gorizontal proyeksiyasini yasaymiz. Natijada, hosil bo’lgan yangi V₁H₁ sistemada uchburchakning gorizontal proyeksiyasi o’ziga teng bo’ladi (ΔA′₁B′₁C′₁= ABC).
Agap O₂X₂ o’qi A″₁B″₁C″₁ dan o’tkazilsa, uchburchakning tekisligi H₁ tekislik bo’lib qoladi.
Yuqoridagi misollardan ko’rinib turibdiki, masalalarni proyek­siya tekisliklarini almashtirish usuli bilan yechish oson va qulaydir. Bu usul bir-biri bilan bog’langan bir qancha yasashlarni ustma-ust tushirmasdan bajarishga va chizmaning bo’sh joylaridan rasional foydalanishga imkon beradi. Almashtirish usulining boshqa usullardan afzalligi ana shulardan iborat.
10-mavzu.
Aylantirish usuli (Asosiy ma’lumot va qoidalar)
Aylantirish usulida proyeksiya tekisliklari qo’zg’almaydi, proyeksiyalanayotgan shakl yoki jism talabga muvofiq vaziyatga kelguncha fazoda aylantiriladi. Aylantirish usulida shaklning yangi, aylantirilgandan keyingi vaziyatdagi proyeksiyalarini uning oldingi (be­rilgan) proyeksiyalari bo’yicha yasash yo’llari o’rganiladi.
P
8-rasm.
royeksiyalanayotgan obyekt fazoda hamma vaqt birorta to’g’ri chiziq (o’q) atrofida aylantiriladi. 8-shaklda A nuqtani JJ to’g’ri chiziq atrofida aylantirish sxemasi tasvirlangan. JJ to’g’ri chiziq aylantirish o’qi deyiladi. A nuqtadan o’qgacha bo’lgan qisqa R masofa A nuqtaning aylan­tirish radiusi deb, O nuqta aylantirish markazi deb, nuqtaning aylanishidan hosil bo’lgan chiziq aylantirish aylanasi deb, uning tekisligi Q esa nuqtaning aylantirish tekisligi deb ataladi, A nuqta nuqtaning oldingi o’rni, A₁ nuqta nuqtaning aylashpirilgandan keyingi o’rni, AOA₁ burchak nuqtaning aylantirish burchagi deyiladi.
Aylantirish o’qi masalaning shartiga qarab tanlab olinadi yoki berilgan bo’ladi. Aylantirish burchagi (φ=AOA₁) asosan, yechilayotgan masalaning shartiga qarab belgilanadi, bu burchak, ba’zan, oldindan berilishi ham mumkin. Faqat oldingi va oxirgi vaziyatlarni ko’rib chiqishda aylantirish yo’nalishi hisobga olinmaydi, ammo aylantirish burchagi (φ) berilgan yoki uni topish kerak bo’lsa, yo’nalish ma’lum bo’lishi shart. Shaklda aylantirish yo’nalishi strelka bilan belgilangan.
Qoida. Nuqta birorta o’q atrofida aylantirilganda uning aylantirish tekisligi hamma vaqt aylantirish o’qiga perpendi­kulyar bo’ladi (8-rasmda QJJ).
Bu qoida fazoning istalgan nuqtasi uchun to’g’ri keladi; bir-biri bilan qattiq bog’langan nuqtalar yig’indisi aylatirilganda esa quyidagi qoida kelib chikadi.
Qoida. Qattiq jism fazoda birorta o’q atrofida aylan­tirilganda uning har bir nuqtasi uchun o’z aylantirish markazi, radiusi va tekisligi bo’ladi, shuning bilan birga, hamma nuqtalarning aylantirish tekisliklari o’zaro parallel va nuqtalarning hammasi uchun aylantirish burchagi o’zgarmas kattalikda bo’ladi, ya’ni nuqtalar bir tomonga va bir xil burchakka aylantiriladi.
Nuqta o’q atrofida aylantirilganda bu nuqta o’qga radius bilan qattiq bog’lanishi kerak.
Radiusning aylantirish o’qida yotgan O nuqtadan boshqa har bir nuqtasi o’z aylanasini chizadi; O nuqta o’z joyida qoladi. Aylan­tirish o’qidagi har bir nuqtani fazodagi birorta nuqtaning aylan­tirish markazi deb hisoblash mumkin. Shunga ko’ra, aylantirish o’qidagi hamma nuqtalar aylantirish jarayonida H va V tekisliklarga nisbatan o’z vaziyatlarini o’zgartirmaydi.
Agar aylantirish o’qi (JJ) umumiy vaziyatdagi to’g’ri chiziq bo’lsa, nuqtalarning bunday o’q atrofida aylantirilishidan hosil bo’lgan aylanalarning V va H tekisliklardagi proyeksiyalari ellipslar bo’ladi. Ellipslarni yasash birmuncha qiyinroq. Shuning uchun ay­lantirish o’qi sifatida, odatda, proyeksiya tekisliklaridan biriga perpendikulyar yoki parallel bo’lgan to’g’ri chiziq olinadi.