Muhandislik grafikasi va kompyuterda loyihalash

Ikki tekislikning o’zaro kesishuv chizig’i proyeksiyalarini yasash
Ikki tekislik to’g’ri chiziq bo’yicha kesishib, ikki yoqli burchaklar hosil qiladi. Tekisliklarning kesishuv chizig’i ikki yoqli burchaklarning qirrasi deyiladi.
Tekisliklarning o’zaro kesishuv chizig’ini yasash uchun chiziqning ikki nuqtasini yoki bir nuqtasini va yo’nalishini topish kerak.

56-rasm.
1. Umumiy usul – yordamchi kesuvchi tekisliklar usuli. Bu usulni tushunib olish uchun 56-rasmdagi yaqqol chizmani diqqat bilan ko’zdan kechirish kerak. Rasmdagi P va Q tekisliklarning ke­sishuv chizig’ini yasash uchun ularni yordamchi, masalan, gorizontal R te­kislik bilan kesamiz, R tekis­lik berilgan tekisliklarni 1—2 va 3—4 gorizontallar bo’yicha kesadi. Bu gorizontallar o’zaro M nuqtada kesishib, izlangan chiziqga oid, demak, tekisliklar uchun umumiy bo’lgan bir nuqtani beradi. Ikkinchi N nuqtani topish uchun ikkinchi gorizontal tekislik (S) o’tkazilgan. Bu tekislik berilgan tekisliklar bilan 5—6 va 7—8 gorizontallar bo’yicha kesishib, N nuqtani beradi. MN berilgan P va Q tekisliklarning kesishuv chizig’idir.

57-rasm.
Yordamchi kesuvchi tekisliklar sifatida gorizontal tekisliklar emas, balki frontal tekisliklar olinsa ham bo’ladi. 57-rasmda bu usul bilan ABC uchburchak va DEFK parallelogramm bilan beril­gan tekisliklarning o’zaro kesishuv chizig’i proyeksiyalarini yasash ko’rsatilgan.
Umumiy nuqtalarni topish uchun, avvalo, ikkala tekislik yordam­chi gorizontal P tekislik bilan (izi P_V) kesilgan; berilgan chiziqlarning frontal proyeksiyalarining P_V bilan kesishgan 1″, 2″, 3″ va 4″ nuqtalari belgilab olingan; keyin o’sha nuqtalarning gorizontal proyeksiyalari (1′, 2′, 3′, 4′) topilgan. Bu nuqtalarni tutashtiruvchi 1—2 va 3—4 chiziqlar berilgan tekisliklarni P te­kislik bilan kesilishidan hosil bo’lgan gorizontallarning gori­zontal proyeksiyalaridir; bularning kesishuv nuqtasi (M) izlangan umumiy nuqtalardan birining gorizontal proyeksiyasi bo’ladi, frontal proyeksiyasi (M″) yordamchi tekislikning izi (P_V) da yotadi. Xuddi shu tartibda, yordamchi S (izi S_V) tekislik vositasi bilan ikkinchi umumiy nuqtaning proyeksiyalari (N′, N″) topiladi.
Topilgan nuqtalarning bir nomli proyeksiyadarini tutashtiruvchi M′N′ va M″N″ chiziqlar ABC uchburchak va DEFK parallelogramm bilan ifodalangan tekisliklarning o’zaro kesishuv chizig’i proyeksiyalaridir.
Berilgan tekisliklarning o’zaro kesishuv chizig’iga oid umumiy nuqtalarni topish uchun yordamchi tekisliklarni istalgan qulay joylardan o’tkazish mumkin.

58-rasm.
Agar kesishuvchi tekisliklar o’z izlari bilan berilgan va ularning bir nomli izlari epyur chegarasida kesishmagan bo’lsa, bunday tekis­liklarning kesishuv chizig’iga oid umumiy nuqtalarning proyeksiyalarini ham yordamchi gorizontal yoki frontal tekisliklar vositasi bi­lan topish qulay.
58-rasmda bir nomli izlari epyur chegarasida kesishmagan P va Q tekisliklarning o’zaro kesishuv chizig’iga oid umumiy nuqtalarning proyeksiyalarini (M′, M″ va N′, N″ ni) yordamchi frontal tekisliklar (izlari R_H va T_H) vositasi bilan topish ko’rsatilgan.

59-rasm. 60-rasm.
2. Izlari bilan berilgan tekisliklarning kesi­shuv chizig’ini yasash. Kesishuvchi tekisliklar o’z izlari bilan berilgan va ularning bir nomli izlari epyur chegarasida kesnshgan hollarda yordamchi kesuvchi tekisliklar sifatida H, V tekisliklardan foydalanish mumkin; bunday bo’lganda, kesishgan yordamchi chiziqlar vazifasini tekisliklarning R_H, R_V va Q_H, Q_V izlari o’taydi. Bir nomli izlarning o’zaro kesishuv M va N nuqtalaridan o’tgan to’g’ri chiziq tekisliklarning kesishuv chizig’i bo’ladi (59-rasm).
Bu yerda shuni ham esda tutish kerakki, tekislikning izlari cheksiz chiziqlardir, ularni uchrashuv nuqtasidan ikkala tomonga davom ettirish mumkin. Shuning uchun tekisliklarning bir nomli izlari OX o’qining bir tomonida kesishmasa, izlarning kesishuv nuqtasini bu izlarni boshqa tomonga davom ettirib topish mumkin. 60-rasmda berilgan tekisliklar­ning gorizontal izlari M′, M″ nuqtada kesishadi, frontal izlari OX o’qining yuqori tomonida, birinchi chorakda kesishmaydi; shuning uchun ularni OX o’qining past tomoniga davom ettiramiz; ular to’rtinchi chorakda N', N″ nuqtada kesishadi. Topilgan nuqtalarning bir nomli proyeksiyalari o’zaro tutashtirilsa, berilgan P va Q tekisliklarning kesishuv chizig’i proyeksiyalari (M′N′, M″M″) kelib chiqadi.
Kesishuvchi tekisliklarning fazodagi vaziyatlariga qarab, xususiy hollarda ularning kesishuv chiziqlarini yasash osonlashadi. Kompleks masalalarni yechishda foydalanish uchun bu xususiy hollarni puxta bilish kerak.

61-rasm
1. Proyeksiya tekisliklaridan biriga proyeksiyalovchi bo’lgan te­kisliklarning kesishuv chizig’i ham proyeksiyalovchi to’g’ri chiziq bo’ladi (61-rasm, a da N'B', N″B″; 61-rasm, b da K′, K″ nuqtadan o’tgan va OX ga parallel bo’lgan to’g’ri chiziq; K′, K″ nuqta yordamchi frontal proyeksiyalovchi Q tekislik vositasi bilan topilgan).
Turli proyeksiyalar tekisligiga proyeksiyalovchi bo’lgan tekis­liklar kesishuv chizig’ining proyeksiyalari ular perpendikulyar bo’lgan tekislikdagi izlariga tushadi (61-rasm, c da M′N′, M″N″).
Bir nomli ikki izi parallel bo’lgan tekisliklar shu izlarga parallel bosh chiziq (gorizontal yoki frontal) bo’yicha kesishadi (86-rasm, d da N'A', N″A″).
Epyurda izlari bir to’g’ri chiziqda yotgan tekisliklar profil to’g’ri chiziq bo’yicha kesishadi (61-rasm, e da M′N′, M″N″).
Umumiy vaziyatdagi tekislik bilan proyeksiyalovchi tekislik kesishganda kesishuv chizig’ining bir proyeksiyasi proyeksiyalovchi te­kislikning iziga tushadi (61-rasm, f da M″N″). Bu holdan foydalanib, ba’zan umumiy nuqtalarni topish mumkin (61-rasm, b).

9-maruza.

Proeksiyalatni qayta to’zish usullari
Umumiy tushunchalar
Ma’lumki, to’g’ri chiziq kesmasi, tekis shakl, burchak va bir tekislikda yotgan boshqa o’lchovlar proyeksiya tekisliklaridan biriga parallel bo’lsa, ularning shu tekislikdagi to’g’ri burchakli proyeksiyalari asliga teng bo’ladi. Masalan, birorta ABC uchburchak gorizontal proyeksiyalar tekisligiga parallel bo’lsa, uning gorizontal proyeksiyasi o’ziga teng (ΔA′B′C′ = ΔABC), frontal proyeksiyasi OX proyeksiyalar o’qiga parallel to’g’ri chiziq kesmasi tarzida bo’ladi. Bunday xususiy holda berilgan proyeksiyalar qulay holdagi proyek­siyalar deyiladi.
Agar ABC uchburchak proyeksiyalar tekisligiga og’ma bo’lsa, uning shu tekislikdagi proyeksiyasi o’zidan kichik bo’ladi. Bunday proyek­siyalar noqulay (umumiy holdagi) proyeksiyalar deyiladi.
Geometrik elementlarning yoki narsalarning umumiy holda be­rilgan proyeksiyalaridan foydalanib, ularga oid masalalarni yechish, ko’pincha qiyin ko’chadi. Shuning uchun ko’p metrik va pozision ma­salalarni¹ yechishda geometrik elementlarning asosiy H va V tekisliklarda berilgan noqulay proyeksiyalaridan foydalanilib, ular­ning xususiy holdagi qulay proyeksiyalari to’zilsa, masalalar osonroq yechiladi.
Geometrik elementlarning asosiy H, V sistemada berilgan noqulay proyeksiyalari bo’yicha ularning masala shartiga mufoviq bo’lgan qulay proyeksiyalarini yasash epyurni qayta to’zish deyi­ladi.
Epyurni qayta tuzish uchun tubandagi asosiy usullar qo’llaniladi:
Proyeksiyalar tekisliklarini almashtirish usuli. Bu usulda, berilgan geometrik elementlar qo’zg’almas deb qaraladi, asosiy HV tekisliklar sistemasi yangi, masalaning shartiga muvofiq qulay holdagi sistemaga almashtiriladi.
Aylantirish usuli. Bu usulda, aksincha, asosiy proyek­siyalar tekisliklari (H, V) qo’zgalmas deb qaraladi, berilgan geometrik elementlar masalaning shartiga muvofiq qulay holga kelguncha fazoda bir yoki bir necha marta aylantiriladi.
Q o’ sh i m ch a p r o ye k s i ya l a sh usuli. Bu usulda, berilgan geometrik elementlar yangi yo’nalish (masalan, to’g’ri burchakli yo’nalish o’rniga qiyshiq burchakli yo’nalish) bo’yicha yangi proyeksiyalar tekisligiga yoki eski proyeksiyalar tekisliklaridan biriga proyeksiyalanadi.
Quyida epyurni qayta to’zishning yuqorida ko’rsatilgan usul­lari bayon etilgan.