Muhandislik grafikasi va kompyuterda loyihalash

B va C nuqtalarning yangi frontal proyeksiyalari (B″₁ va C″₁) aylantirish o’qining A″D″ proyeksiyasida bo’ladi.
Shaklda B va C nuqtalarning aylantirilishidan hosil bo’lgan gorizontal proyeksiyalovchi tekisliklarning faqat gorizontal izlari (Q_H, S_H) ko’rsatilgan.
17-rasmdagi uchburchak o’z gorizontali atrofida aylantirilib, H ga parallel vaziyatga keltirilgandagi aylantirish burchagi (φ) uchburchak bilan H orasidagi ikki yoqli burchakning kattaligi (α) ga teng (φ=α). Bu burchak epyurda aylantirish radiusining haqiqiy o’zunligi bilan uning gorizontal proyeksiyasi orasidagi burchakga baravardir, chunki aylantirish radiusi uchburchak tekisligining eng katta qiyalik chizig’iga to’g’ri keladi.
Berilgan ABC uchburchakni gorizontali atrofida aylantirib, gorizontal proyeksiyalovchi vaziyatga ham keltirish mumkin. (Bu ishni qanday qilib bajarish mumkin?)
Yukoridagi yasashga o’xshash yasash bilan tekis shaklni uning frontali atrofida aylantirib, V tekislikka parallel vaziyatga kel­tirish mumkin.
11-mavzu.
Tekislikni o’z izlaridan biri atrofida aylantirish
Izlari bilan berilgan tekislikda yasashga doir masalalarni yechish yoki tekislikda yotgan shakllarning haqiqiy ko’rinishini yasash uchun, berilgan tekislikni uning izlaridan biri atrofida aylan­tirib, o’sha izi yotgan proyeksiyalar tekisligi bilan ustma-ust tushirish (jipslashtirish) qulaydir. Tekislikning gorizontal izi uning gorizontallaridan biri (xususiy vaziyatdagi gorizontali), frontal izi esa xususiy vaziyatdagi frontali bo’lgani uchun, bu aylantirishning yuqoridagi tekislikni o’z gorizontali yoki frontali atro­fida aylantirishdan (42-paragraf) hyech qanday prinsipial farqi yo’q.

18-rasm.
18-rasm, a da umumiy vaziyatdagi P tekislikni shu tekislikda yotgan A nuqta bilan birga gorizontal P_H izi atrofida aylantirib, H tekislikka joylashtirish ko’rsatilgan. A nuqtadan P tekis­likda AN gorizontal chizamiz; gorizontalning frontal izi (N″) tekislikning frontal izida bo’ladi. Tekislik H tekislikka jipslashtirilgandan so’ng P_H P_X P_V0 vaziyatni oladi; uning gorizontal izi (P_H) o’z joyida qoladi, frontal izi tekislikdagi boshqa nuqtalar bilan birga aylanib, H tekislikka tushadi va P_V0 vaziyatni oladi. Shunga ko’ra, tekislikdagi barcha nuqtalarning aylantirilgandan keyingi yangi proyeksiyalarini yasash uchun tekislikning fron­tal izidagi birorta ixtiyoriy nuqtaning aylantirilgandan keyingi vaziyatini topib, uni P_X bilan tutashtirsak, P_V0 kelib chiqadi. Rasmda ixtiyoriy nuqta sifatida N nuqta olingan. N nuqtaning aylantirish tekisligi (Q) gorizontal proyeksiyalovchi tekislik bo’lib P_H ga perpendikulyar joylashgan. Q bilan P_H ning kesishuv nuqtasi (O) N nuqtaning aylantirilish markazi, ON kesma esa uning aylan- tirilish radiusidir. P tekislik H ga jipslashtirilgandan keyin aylantirish radiusi Q_H izga tushadi va uning uchida N₀ hosil bo’ladi. Bu N₀ nuqtani P_X bilan tutashtirib, P_V0 ni topamiz. Epyurda N₀ nuqtani topish uchun (18-rasm, b) tekislikning P_V izida ixtiyoriy N nuqta olamiz (N″ ham shu joyda) va uning gori­zontal proyeksiyasi (N′) orqali aylantirish o’qi P_H iziga perpendi­kulyar qilib N′O ni o’tkazamiz. Bu perpendikulyar Q_H bo’ladi. Endi P_X nuqtadan P_XN″ radiusli yoy bilan N′O chiziqning davomini kesib, N nuqtaning yangi – H ga jipslashtirilgandagi o’rni (N₀) ni topa­miz. N₀ nuqtani qo’zg’almas P_X nuqta bilan tutashtirsak, P_V0 hosil bo’ladi.
Tekislikning A nuqtasidan o’tgan gorizontali (AN) ham tekislik bilan birga aylanib borib, H tekislikka jipslashadi. AN gorizon­tal hamma vaqt P_H ga parallelligicha qoladi va H bilan jipslashgandan keyin N₀ nuqtadan o’tadi (N₀A₀ || P_H).
A nuqtaning aylantirilish radiusi N nuqtaning aylantirilish radiusiga teng, A nuqtaning aylantirilish tekisligi S || Q bo’ladi; uning S_H izi A nuqtaning go­rizontal proyeksiyasi (A′) dan P_H ga perpendikulyar bo’lib o’tadi. Shunday qilib, N₀ nuqtadan P_H ga parallel va A′ dan P_H ga per­pendikulyar o’tkazsak, ularning kesishuv joyida A nuqtaning yangi o’rni (A₀) kelib chiqa­di.
Tekislikning yangi P_V0 izini chizish uchun zarur bo’lgan N₀ nuqta aylantirish radiusining haqiqiy o’zunligini yasash yo’li bilan topilsa ham bo’ladi. Buning uchun, avvalo, ON′ va N′N″ katetlari asosida to’g’ri burchakli ON′N₁ uchburchak (A′N₁=N′N″) yasalsa, uning gipotenuzasi (ON₁) aylan­tirish radiusiga teng bo’ladi. Keyin aylantirish markazi (O) dan N′O chiziq bo’yicha ON₀=ON_t=R kesma qo’yilib, N₀ nuqta topiladi.
Epyurdan ravshan ko’rinib turibdiki, A nuqtaning jipslashtirilgandan keyingi o’rni P tekislikning izlari va 18-rasm, b da tasvirlangan H dagi bitta proyeksiyasi bo’lgandagina yasalishi mumkin, nuqtaning ikkinchi (A″) proyeksiyasidan yasashda foydalanilmaydi.
Bu xulosa izlari orqali berilgan umumiy vaziyatdagi tekislikda yotgan tekis shaklning bir proyeksiyasi mavjud bo’lganda uning haqiqiy ko’rinishini yasash uchun muhimdir.
1-misol. Tekislikning izlari (P_H, P_V) va unda yotgan uchburchakning gorizontal proyeksiyasi (ΔA′B′C′) berilgan. ABC uchburchakning haqiqiy ko’rinishini yasash kerak (19-rasm).
P _H izni aylantirish o’qi deb qabul qilamiz va tekislikni H tekislik bilan jipslashtiramiz.
Yasash tartibi:
1) berilgan nuqtalar orqali gorizontallar o’tkazamiz va ularning izlarini topamiz (N′, N″ va N′₁, N″₁);
2) gorizontal proyeksiyalovchi aylantirish tekisliklarining izla­rini (Q_HP_H, S_HP_H va boshqalarni) o’tkazamiz;
3) N₀ nuqtani topamiz va uni P_X bilan tutashtirib, P_Vo izni yasaymiz;
4) N₀ va N_l0 nuqtalar orqali gorizontallarning aylantirilgandan keyingi vaziyatlarini chizamiz (N₀C₀ || P_H || N₁₀B₀);
5
19-rasm.
) jipslashtirilgan gorizontallarni aylantirish tekislik­larining gorizontal izlari (Q_H, S_H va R_H) bilan kesishuv joylarida A₀, B₀, C₀ nuqtalarni topamiz;
A₀B₀C₀ izlangan uchbur­chak, ya’ni ΔA₀B₀C₀ = ABC bo’ladi.
Proyeksiyalovchi tekisliklarni jipslashtirish ayniqsa oson, chunki bunday tekisliklarning izlari orasidagi burchak haqiqatda to’g’ri burchakdir. Tekislik jipslashtirilgandan keyin ham bu bur­chak, albatta, saqlanadi. Mi­sol tariqasida 20-rasmda frontal proyeksiyalovchi P te­kislik shu tekislikda yotgan ABCD turtburchak bilan birga P_H izi atrofida aylantirilib H tekislikka jipslashtirilgan. Jipslashtirilgandan so’ng tekislikning frontal izi OX o’qiga kelib qoladi, A″, B″, C″, D″ nuqtalar bir-biri orasidagi va izlarning uchrashuv nuqtasigacha bo’lgan masofalarini o’zgartirmasdan, A₀″, B₀″, C₀″, D₀″ nuqtalarga o’tadi. Nuqtalarning gorizontal proyeksiyalari (A′, B′, C′, D′ nuqtalar) esa OX ga parallel to’g’ri chiziq­lar bo’ylab suriladi. Shunday qilib, A₀B₀C₀D₀ berilgan to’rtburchakning H ga jipslashtirilgan vaziyatidir.
Bu yerda shuni ham ta’kidlab o’tish kerakki, proyeksiyalovchi tekislikning shu tekislik izlaridan biri atrofida aylantirilishini proyeksiyalar tekisliklaridan biriga perpendikulyar o’q at­rofida aylantirish deb qarash mumkin (41-paragraf), faqat bu yerda tekislikdagi nuqtalar istalgan burchakka aylantirilmasdan, proyeksiyalar tekisligiga kelguncha aylantiriladi.

20-rasm. 21-rasm.
Agar epyurda berilgan tekis­likning izlari bo’lmasa, uni jipslashtirish uchun aylantirish o’qi vazifasini bajaruvchi izinigina yasash kifoya.
2-misol. Biror P tekislik ABC uchburchakning proyeksiyalari bilan berilgan. Uchburchakni H tekis­likka jipslashtirish kerak (21-rasm).
Yasash tartibi:
1) uchburchakning AB va BC tomonlarini davom ettirib, ular­ning gorizontal izlarini topamiz (M′ va M′₁ nuqtalar);
2) tekislikning P_H izini chizamiz va uni aylantirish o’qi deb qabul qilamiz;
uchburchak uchlaridan birining, masalan, C uchining aylantirilgandan keyingi o’rnini topamiz. U C′ nuqtadan P_H ga tushirilgan perpendikulyarning davomida 3′ nuqtadan aylantirish radiusining haqiqiy o’zunligiga teng masofada bo’ladi (3S₀=3S₁=R_C);
3) aylantirish o’qidagi M va M₁ nuqtalar hamma vaqt qo’zg’almas, shuning uchun nuqtani C₀ bilan tutashtirib, bu chiziqning davomida B₀ nuqtani topamiz; keyin B₀ ni M bilan tutashtiramiz-da, bu chiziq bilan A′ dan P_H ga tuщirilgan perpendikulyarning kesishuv joyida A₀ nuqtani topamiz; A₀B₀C₀ uchburchak berilgan ABC uchburchakning H tekislikka jipslashtirilgandan keyingi vaziyatidir.
Jipslashtirish usulidan foydalanib, berilgan tekislikda yotgan har qanday tekis shaklning haqiqiy ko’rinishi ma’lum bo’lsa, uning proyeksiyalarini yasash mumkin. Buning uchun oldin berilgan tekis­likni uning izlaridan biri atrofida aylantirib, proyek­siyalar tekisligi bilan jips­lashtirish kerak. Shundan keyin japslashtirilgan te­kislikda shaklning haqiqiy ko’rinishini yasash va tekislikni asli holiga yana qaytarish lozim.
3-misol. Epyurda umumiy va­ziyatdagi P tekislik berilgan; unda yotgan kvadratning pro­yeksiyalarini yasash kerak. Kvadratning tomoni L mm bo’lib, tekislikda ixtiyoriy joylashgan (22-rasm).
Yasash t a r t i b i:
1) tekislikni uning izlaridan biri, masalan, P_H atrofida aylantirib, H tekis­likka jipslashtiramiz;
2 ) jipslashtirilgan tekis­likda (P_V0P_XP_H) tomoni L mm bo’lgan A₀B₀C₀D₀ kvadrat chizamiz;
3) kvadratning uchlaridan tekislikning gorizontallarini o’tkazamiz; jipslashtirilgan holatdagi gorizontallarning fron­tal izlari 1₀, 2₀, 3₀ va 4₀ raqamlar bilan belgilangan;
4) gorizontallarning frontal izlaridan foydalanib, ularning frontal (OX ga parallel) va gorizontal (P_H ga parallel) proyek­siyalarini chizamiz;
5) A₀, B₀, C₀, D₀ nuqtalar orqali P_H izga perpendikulyarlar o’tkazamiz va bu perpendikulyarlarning tegishli gorizontallarning gori­zontal proyeksiyalari bilan kesishuv joylarida A′, B′, C′, D′ nuqtalarni topamiz;
6
22-rasm.
) kvadratning gorizontal proyeksiyasi (A′B′C′D′) bo’yicha kvadrat­ning frontal proyeksiyasi (A″B″C″D″) ni yasaymiz.
Biz yuqoridagi misolda (oldingi 18 va 19-rasmlarda ham) nuqtalarning proyeksiyalarini yasash uchun ulardan o’tgan gorizontallardan foydalandik, umuman, nuqtalardan o’tgan frontallardan yoki tekislikda yotgan ixtiyoriy yo’nalishdagi har qanday to’g’ri chiziqlardan foydalansa ham bo’ladi.
Tekis-parallel harakat usuli
Q attiq jismning hamma nuqtalarini fazoda o’zaro parallel bo’lgan tekisliklarda yotgan tekis trayektoriyalar bo’yicha harakat qilishi jismning tekis-parallel harakati deyiladi. Bunday harakatni hamma vaqt trayektoriyalar tekisligida sodir bo’layotgan siljish va burilish deb qarash mumkin. Shaklning o’q atrofida aylantirilishi tekis-parallel harakatga oddiy misol bo’la oladi. Bunda nuqtalar aylantirish o’qiga per­pendikulyar, binobarin, o’zaro parallel tekisliklarda aylanalar chizadi. Demak, aylanti­rish usulini tekis parallel harakat usulining xususiy holi deb qarash mumkin.
B
23-rasm.
undan keyin biz tekis-parallel harakatni faqat proyeksiya tekisliklaridan bi­riga nisbatan ko’rib chiqamiz. V tekislikka parallel Q tekis­likda yotgan A nuqta tekislikda ixtiyoriy trayektoriya bo’yicha harakatlanib, A, vaziyatga keldi, deb faraz qilaylik (23-rasm). Bunday harakat natijasida nuqtaning gorizontal proyeksiyasi (A′) proyeksiyalar o’qiga parallel to’g’ri chiziq bo’yicha surilib, A₁ ga keladi. Demak, bu yerda ham xuddi V tekislikka perpendikulyar o’q atrofida aylantirilgandagi hol ro’y beradi.
Shunday qilib, nuqta V tekislikka parallel tekislik bo’yicha har qanday harakat qilganda ham uning gorizontal proyeksiyasi OX o’qiga parallel to’g’ri chiziq bo’yicha suriladi.
Bu holdan foydalanib, to’g’ri chiziq kesmalarini va tekis shakllarni H va V tekisliklarga perpendikulyar bo’lgan o’qlap atrofida o’qlarning vaziyatini epyurda ko’rsatmay turib ham aylantirish mumkin.
Misol tariqasida, 24-rasmda ABC uchburchakning haqiqiy ko’rinishini yasash ko’rsatilgan. Buning uchun uchburchak ikki marta tekis-parallel harakatlantirilib, H tekislikka parallel vaziyatga keltirilgan. Bu operasiyani epyurda bajarish uchun, avvalo, uchburchakda AD gorizontal o’tkazilgan va gorizontalning gorizontal proyeksiyasi OX o’qiga perpendikulyar vaziyatga keltirilib, uchburchakning gori­zontal proyeksiyasi boshqa joyga ko’chirilgan (A′₁D′₁OX va ΔA′₁B′₁C′₁ = ΔABC). Buning natijasida uchburchakning yangi vaziyatdagi fron­tal proyeksiyasi (A″, B″, C″) to’g’ri chiziq kesmasi ko’rinishida bo’lib qoladi. Shundan keyin, frontal proyeksiya (A″B″C″) proyeksiyalar o’qiga parallel (A″₂B″₂C″₂) vaziyatga surilgan (A″₂B″₂C″₂ = A′₁B′₁C′₁). Bu harakat natijasida uchburchak fazoda H tekislikka parallel bo’lib qoladi; shuning uchun uning yangi gorizontal proyeksiyasi A′₂B′₂C′₂ o’ziga teng bo’ladi.

24-rasm.
Yukoridagi misoldan ko’rinib turibdiki, birinchi aylantirish o’qi H ga perpendi-kulyar, ikkinchisi V ga perpendikulyardir, lekin ular epyurda ko’rsatilgan emas.
Bu usul ham ancha qulay, chunki u, birinchidan, yasashni qisqartiradi, ikkinchidan, chizmalarning bir-biri ustiga tushmasligiga imkon beradi.