Moliyaviy menejmentning matematik asoslari

1 birlik mablagʻning turli xil murakkab foiz stavkalari boʻyicha
oʻsib boruvchi kelgusi qiymatlari

Yillar	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Kelgusi qiymat (r=10%)	1,00	1,10	1,21	1,33	1,46	1,61	1,77	1,95	2,14	2,36	2,59	2,85
Kelgusi qiymat (r=15%)	1,00	1,15	1,32	1,52	1,75	2,01	2,31	2,66	3,06	3,52	4,05	4,65
Kelgusi qiymat (r=20%)	1,00	1,20	1,44	1,73	2,07	2,49	2,99	3,58	4,30	5,16	6,19	7,43

Yuqorida keltirilgan jadval ma’lumotlarini grafikda aks ettiramiz (4-rasm).

4-rasm. 1 birlik mablagʻning turli xil murakkab foiz stavkalari boʻyicha oʻsib boruvchi kelgusi qiymatlari grafigi

Amaliyotda moliyaviy bitimlar shartlariga bogʻliq ravishda foizlar bir yilda bir necha marta, masalan har oy, har chorakda ham hisoblanishi mumkin. Bunday holatda kelgusi qiymatni hisoblash quyidagi formula boʻyicha amalga oshiriladi:

(2.17)
Bu yerda m – bir yil davomida foiz hisoblashlar soni.
Boʻlishi mumkin boʻlgan holat sifatida oldingi misol boʻyicha foizlar har chorakda, ya’ni bir yilda 4 marta hisoblansa muddat oxiridagi FV ni aniqlaymiz:
FV_3,4 = 100 x (1 + 0,08/4)¹² = 126,82 birlik.
Yuqoridagi fomula (2.17)dan va olinadigan natijadan ham koʻrinib turibdiki, foiz hisoblanadigan davrlar soni oshishi ortib borishi bilan FV_n,m ham oʻsib boradi.
Ba’zida foiz hisoblashning turlicha davrlarini koʻrib chiqish orqali moliyaviy operatsiyalar shartlarini oʻzaro taqqoslash zarurati ham paydo boʻladi. Bunday holatda mos foiz stavkalarini ularning ekvivalentiga solishtirish amalga oshiriladi. Bu quyidagi formula boʻyicha aniqlanadi:
EPR =(1 + r/m)^m – 1 (2.18)
Bu jarayonda olinadigan koʻrsatkich samarali foiz stavkasi (effective percentage rate – EPR), yoki taqqoslash stavkasi deb ataladi. Mazkur koʻrsatkich iqtisodiy adabiyotda APR (annual percentage rate) tushunchasi bilan ham qoʻllaniladi.
Misol koʻrib chiqamiz.
10 000 birlik mablagʻ depozitga 4 yil muddatga murakkab foiz boʻyicha yillik 10% lik stavka bilan joylashtirildi. Foiz har chorakda hisoblanishi belgilangan. Ikkinchi variantda esa 10 000 birlik mablagʻ investitsiyaga 4 yillik muddatga 10 foizlik stavka bilan joylashtirilgan. Bu operatsiya boʻyicha foizlar yilda bir marta hisoblanadi. Operatsiyalardan qaysi biri samarali ekanligini aniqlang.
Har ikkala operatsiya boʻyicha samarali stavkani aniqlaymiz:
1) har chorak boʻyicha – EPR = (1+0,1/4)⁴ – 1 = 0,103813 birlik.
2) har yil boʻyicha – EPR = (1+0,1)¹ – 1 = 0,10 birlik.
Shunday qilib, 10 000 birlik mablagʻni joylashtirish shartlariga koʻra 4 yil muddatga har chorakda foiz hisoblanadigan yillik 10%lik stavka 10,3813% ga teng boʻlgan holda ekvivalentli foiz stavkasi boʻladi. Bundan, birinchi operatsiya investor uchun yuqoriroq samara keltirishini koʻrishimiz mumkin.
Oʻz navbatida EPR miqdori ma’lum boʻlsa, r nominal foiz stavkasi quyidagi formula boʻyicha aniqlanadi:
(2.19)
Murakkab foizlar boʻyicha diskontlash
Murakkab foizlar boʻyicha joriy qiymatni aniqlash formulasi 2.16-formuladan keltirib chiqariladi. Ya’ni matematik almashtirishdan foydalangan holda quyidagi formulani shakllantiramiz:
(2.20)
Misol koʻrib chiqamiz.
3 yil boʻyicha toʻlanadigan depozit miqdori 100 birlikni tashkil etdi. Agarda depozit boʻyicha yillik stavka 8% boʻlsa, omonatning dastlabki summasini aniqlang.
Quyidagi rasmda koʻrilayotgan misol uchun murakkab foizlar boʻyicha diskontlash jarayoni sxemasi keltirilgan (10-rasm):