Множества N,Z,Q,R

Показательная форма комплексного числа

Используя формулу Эйлера мы можем придать тригонометрической форме записи комплексного числа следующий вид:
Z=|z|e^iф, где для z=a+bi, |z|=√a²+b², а tg =b/a.

16. 
    Модуль и аргумент произведения и частного
    

Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению из модулей, а аргумент равен сумме аргументов.
Z₁=|Z₁|(cosФ₁+isinФ₁)
Z₂= |Z₂|(cosФ₂+isinФ₂)
Z₁Z₂=|Z₁||Z₂|(cos(Ф₁+ Ф₂) + isin(Ф₁+ Ф₂))
Z₁=|Z₁|e^iф1
Z₂=|Z₂|e^iф2
Док-во: z₁*z₂=|z₁|e^iф1*|Z₂|e^iф2=|Z₁||Z₂|e^i(ф1+ф2)=|Z₁||Z₂|(cos(ф₁+ф₂)+isin(ф₁+ф₂)).
Модуль частного двух чисел равен частному их модулей, а аргумент равен разности аргументов.
Z₁/Z₂=|z₁|e^iф1/|Z₂|e^iф2=|Z₁|/|Z₂|^i(ф1-ф2).

17. 
    Формула Муавра
    

формула, содержащая правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме Zⁿ=|Z|ⁿ(cosn +isinn )
Правило умножения двух комплексных чисел позволяет получить замечательное соотношение, открытое английским математиком А. де-Муавром.
Найдем квадрат комплексного числа z = r(cos  + i sin ), т.е. результат произведения этого числа на само себя:
z² = z•z = r(cos  + i sin )•r(cos  + i sin ).
По правилу умножения двух комплексных чисел имеем: z² = r²(cos  + i sin )² = r²(cos 2 + i sin 2).
Повторяя n раз операцию возведения в степень числа z, мы получим формулу n-ой степени числа z:
zⁿ = rⁿ(cos n + i sin n),
где n – натуральное число.
Методом математической индукции можно доказать эту формулу. Она представляет собой обобщение формулы, открытой Муавром. Муавр открыл ее для случая, когда модуль комплексного числа z равен 1. Формула Муавра имеет вид: (cos  + i sin )ⁿ = cos n + i sin n,
где n є N.
С помощью формулы Муавра можно вывести многие полезные соотношения, в частности, между тригонометрическими выражениями.

18.