Множества N,Z,Q,R

Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел

Формула Муавра позволяет найти значения корней любой (n-й) степени в поле комплексных чисел. Под корнем n-й степени из числа z понимают такое число a, n-я степень которого равна z: aⁿ = z. Ограничимся рассмотрением вопроса об извлечении корня n-ой степени из 1 в поле комплексных чисел. Другими словами, будем рассматривать вопрос о решении уравнения zⁿ = 1, где n  N в поле комплексных чисел. Воспользовавшись формулой Муавра, можно доказать, что уравнение zⁿ = 1 в поле комплексных чисел имеет ровно n решений, т. е. корень n-й степени из числа z в поле комплексных чисел имеет ровно n значений. Эти значения корня изображаются вершинами правильного n-угольника, вписанного в единичную окружность, причем точка (0; 1) является одной из вершин этого многоугольника.
Итак, первый корень уравнения zⁿ = 1 изображается вершиной вписанного n-угольника. Второй корень изображается следующей вершиной вписанного n-угольника. Аналогично могут быть найдены другие корни. Наконец, последний n-й корень будет как раз изображаться точкой (0; 1).

19. 
    Многочлены в комплексной области. Условие
    

тождественности 2 многочленов
Многочленом n-ой степени наз-ся ф-ция вида
P_n(z)=a₀zⁿ + a₁z^n-1 + … + a_n-1z + a_n , где комплексные числа a₀, a₁,…a_n –коэффициенты многочлена, причём a₀≠0, nеZ, n≥0, z – комплексная переменная.
Для того чтобы многочлены Pn(z) и Qn(z) были тождественны, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты при одинаковых степенях z были равны.

20. 
    Основная теорема алгебры (т. Гауса)
    

Всякий многочлен ненулевой степени имеет по крайней мере один корень (вообще говоря комплексный).
Число z₀ является корнем многочлена P_n(z) в том и только в том случае, когда P_n(z) делится без остатка на двучлен z-z₀? Т.е. P_n(z)=(z-z₀)Q_n-1(z), где Q_n-1(z) – многочлен (n-1) – й степени.
Следствие : многочлен n-й степени имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

21.