Методическое пособие по линейной алгебре: Учебное посо



Download 0,59 Mb.
Pdf ko'rish
bet1/8
Sana17.12.2019
Hajmi0,59 Mb.
#30811
TuriМетодическое пособие
  1   2   3   4   5   6   7   8
Bog'liq
12 Павлова итог
article, Iqtisodiy geografiya mustaqil ish, Ochiq dars, Моя будущая профессия, Prepositions, Bola yashaydigan xonaga qo’yiladigan talablar Reja Bola yashayd, 1-амалий машгулот

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

имени М.В. Ломоносова

Э к о н о м и ч е с к и й   ф а к у л ь т е т

Л.С. Павлова



МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 

ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

(отд. «Менеджмент»)

Москва

2015


 

©  


Экономический факультет 

МГУ имени М. В. Ломоносова, 2015

УДК 512.64

ББК 22.151.54я73

 П121

 Павлова 

Л. 

С.

П121   

Методическое пособие по линейной алгебре: Учебное посо-

бие. – М.: Экономический факультет МГУ имени М. В. Ломо-

носова, 2015. – 44 с.

  

ISBN 



978-5-906783-12-7

Линейной алгебре посвящено очень большое количество учебников, учеб-

ных пособий. Особенность читаемого курса «Математика» состоит в том, что 

линейная алгебра является лишь его частью. Курс «Математика» читается 

в первом семестре первого года обучения на отделении «Менеджмент». Линей-

ная алгебра – это лишь часть курса. Необходимость в сжатые сроки ознакомить 

слушателей с основными понятиями, лежащими в основе этой науки, вызвало 

необходимость написать пособие, которое следует рассматривать как упрощен-

ное изложение базового материала, включенного в курс лекций.

УДК 512.64

ББК 22.151.54я73


3

 

О Г Л А В Л Е Н И Е



Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Часть 1.  Элементы матричной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Основные понятия и обозначения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Свойства матриц и действия с матрицами  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Ранг матрицы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Определители. Вычисление определителей 

2-го, 3-го и 



n-го порядков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Свойства определителей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Вычисление обратной матрицы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Часть 2.  Системы линейных алгебраических уравнений  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Основные понятия.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Метод последовательного полного исключения неизвестных 

для решения системы линейных алгебраических уравнений 

(Метод Гаусса-Жордана)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Правило Крамера для решения систем линейных уравнений . . . . . . . . 21

Матричные уравнения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Критерий совместности 

систем линейных алгебраических уравнений.

Теорема Кронекера – Капелли.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24



Часть 3.  n-мерные векторы и n-мерные векторные пространства. . . . . . . . . . . . . . . 26

Операции над векторами  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Свойства операций над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Линейная зависимость (независимость) векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

База и ранг набора векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Линейные векторные пространства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Преобразование координат вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Линейные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Задание 

L в виде однородной системы линейных уравнений  . . . . . . . . 34

Базис и размерность подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35



Часть 4.  Задания для самостоятельной работы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Часть 5.  Образец контрольной работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Литература  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4

 

В В Е Д Е Н И Е



Линейной алгебре посвящено очень большое количество учебни-

ков, учебных пособий. Особенность читаемого курса «Математика» 

состоит в том, что линейная алгебра является лишь его частью. Курс 

«Математика» читается в первом семестре первого года обучения на от-

делении «Менеджмент». Линейная алгебра – это лишь часть курса. 

Необходимость в сжатые сроки ознакомить слушателей с основными 

понятиями, лежащими в основе этой науки, вызвало необходимость 

написать пособие, которое следует рассматривать как упрощенное из-

ложение базового материала, включенного в курс лекций. 


5

 

Ч А С Т Ь   1



.

 

Элементы 

матричной алгебры

Основные понятия и обозначения

Матрица – прямоугольная таблица, содержащая набор элементов, 

упорядоченных по строкам и столбцам. Обозначение:

11

12



1

21

22



2

1

2



.

n

n

m

m

mn

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a

⎞⎟









=⎜

⎟⎟







⎟⎟

⎜⎝



… …


… …

… … … … …

… …

 

Размерность матрицы (



m,  n), где m – количество строк матрицы, 

n – количество столбцов матрицы, 

ij

– элемент матрицы, i – номер 

строки, 


– номер столбца матрицы.

Если 


m = n, матрица называется квадратной.

Если квадратная матрица имеет вид 

11

12

13



1

22

23



2

33

3



0

0

0



0

0

0



n

n

n

nn

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

⎞⎟









⎟⎟













⎟⎟

⎜⎝





… … … … …

– она 



называется верхней треугольной матрицей. Легко представить ниж-

нюю треугольную матрицу.

Совокупность элементов 

ii

 называется главной диагональю квад-

ратной матрицы.

Если квадратная матрица имеет вид: 

11

22



33

0

0



0

0

0



0

0

0



0

0

0



0

nn

a

a

a

a

⎞⎟









⎟⎟













⎟⎟

⎜⎝





… … … … …

– она 



называется диагональной. Если все элементы главной диагонали диа-

гональной матрицы равны единице, то матрица называется единичной 

и обозначается Е.


6

Часть 1. Элементы матричной алгебры  



Свойства матриц и действия с матрицами

1.  Две матрицы A и B считаются равными, если они имеют одина-

ковые размеры и равны их соответствующие элементы 

(

)



ij

ij

a

b

=

.



2. Сумма матриц. 

Суммировать можно только матрицы одинаковой размерности. 

Суммой матриц А

{ }


ij

a

 и В


{ }

ij

 является матрица С, каждый элемент 

которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В,  т.е. 



ij

ij

ij

c

a

b

= + .


Пример 1.

1

2



1

1 3 3


0 5 2

3

4



6

1 0


2

4 4 4


,

,

А



B

C

A B













=

=

= + =

















3.  Умножение матрицы на действительное число. 

При умножении матрицы на действительное число, каждый ее эле-

мент умножается на это число.



Пример 2: 

Если: 


1

2

1



3

4

6



,

А

R



− ⎟


=





⎜⎝



, то 


C

А

=



=

2

3



4

6







− ⎟






⎜⎝

.



4.  Свойства сложения матриц и умножения матриц на число:

(

)



(

)

(



)

(

)



( )

( )


A B

D

A

A B

C

A

B

C

A B

A

B

A

A

A

A

A



 






 

+ = +


+ + = + +

+

=



+

+

=



+

=

5. Умножение матриц.



Произведением двух матриц: 

А – размерностью (mn) и В – размер-

ностью (


np), является матрица С – размерностью (mp). Элементы ма-

трицы С вычисляются по формуле: 

1

1

1



,

,..., ;


,...,

n

ij

ik kj

k

c

a b i

m j

p

=

=



=

=



.

Пример 3.

( )


( )

1 1


1

2

1



3

0

3



4

6

3



2

2

3



1 1 2 3

1 3 1 1 2 0

1

2

27



9

3 1 4 3 6 3

3 1 4 0 6 2

,

,



(

)

(



)

(

)



(

)

А



B

C

AB











=



=







⎜⎝



⎟⎟





⎞ ⎛



− + ⋅ + −

⋅ + ⋅ + − − ⎟





=

=

=











− + ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ + −





Произведение матриц 



А и В невозможно, если число столбцов ма-

трицы 


А не равно числу строк матрицы В.

7

Ранг матрицы

Если матрицы 

А и В квадратные, размерностью (nn), то их произ-

ведением будет матрица размерностью (



nn). Однако, в общем случае,

AB

BA

.



Если матрицы 

А и В квадратные и их произведением является еди-

ничная матрица (



Е), то матрицы являются взаимно обратными. 

Будем считать , что матрица В является обратной для матрицы А и 

введем для обратной матрицы обозначение 

1

A

. Тогда: 



1

AA

E

= . 



Отметим, что 

1

1



.

AA

A A

E



=

=

(Вычисление обратной матрицы приведено в разделе «Определи-



тели» и в разделе «Системы линейных алгебраических уравнений»).

6.  Свойства произведения матриц:

( )

( )


(

)

( )



( ) ( )

( )


( )

( )


1

1

1



,

T

T

T

AB C

A BC

A B C

AC

BC

A BC

AB

AC

AB

A B

A

B

AB

B A

AB

B A





=



+

=

+



=

+

=



=

∈ℜ

=



=

Ранг матрицы

Введем некоторые обозначения и понятия.

Обозначим строки матрицы 

1

2



;

; ;


n

A A

A



.



Запишем линейную комбинацию строк матрицы и приравняем ее 

нулю:


1 1

2 2


0, где 

n

n

i

A

A

A



+



+ +

=





 – коэффициенты линейной ком-

бинации.


Определение: Если линейная комбинация строк матрицы равна нулю 

только при нулевых значениях коэффициентов 



i

 , то строки матрицы 

называются линейно независимыми. 

Определение: Максимальное число линейно независимых строк ма-

трицы называется рангом матрицы. (



(A)).

Утверждения: 

 Ранг матрицы по строкам равен рангу матрицы по столбцам.

 Линейные преобразования строк (столбцов) матрицы не меня-

ют ее ранга.

Иначе говоря, если к одной из строк матрицы прибавить другую 

строку, умноженную на некоторое действительное число, то ранг по-

лученной матрицы останется равным рангу исходной матрицы.


8

Часть 1. Элементы матричной алгебры  



Пример 4. Найти ранг матрицы 

2

1 3



2 4

4

2 5 1



7

2

1 1 8



2

A









=





⎟⎟





. Проведем 



следующие линейные преобразования строк матрицы: первую строку 

умножив на –2 прибавим ко второй строке, и умножив на –1 приба-

вим к третьей строке. Матрица примет вид: 

2

1 3



2 4

0

0



1 5

1

0



0

2 10


2

A









=







⎟⎟





Заметим, что вторая и третья строки матрицы пропорциональны. Сле-



довательно, только две строки линейно независимы. Ранг матрицы ра-

вен 2. (


(A)=2).

Пример 5. При всех значениях параметра р определить ранг ма-

трицы.


1

2

1



1

2

2



1

р

р



− ⎟









⎟⎟







Прибавим первую строку матрицы ко второй строке и вычтем пер-

вую строку из третьей. Получим матрицу: 

1

2

1



0

0

1



1 0

0

.



р

р



− ⎟









⎟⎟



⎜ −


Очевидно, 



что при 

р = 1 ранг матрицы равен 1 

(

)



1

=

, при 


1

3

p



r

= .



Ответ: 

1

1



1

3

.



.

p

r

p

r

=

=



=

Определители. 



Вычисление определителей 2-го, 3-го и n-го порядков

Квадратной матрице можно поставить в соответствие некоторое 

число, называемое определителем матрицы.

Определение: Определителем матрицы называется алгебраическая 

сумма произведений элементов матрицы, не стоящих одновременно 

в одном и том же столбце, в одной и той же строке.

1.  Определитель матрицы размерностью (2Х2).

11

12

11 22



12 21

21

22



a

a

a a

a a

a

a

=



Пример 6.

4 2


4 5 2 3 14

3 5


= ⋅ − ⋅ =

9

Свойства определителей

2.  Определитель матрицы размерностью (3Х3).

11

12



13

21

22



23

11 22 33


12 23 31

13 21 32


31

32

33



13 22 31

12 21 32


11 23 32

a

a

a

a

a

a

a a a

a a a

a a a

a

a

a

a a a

a a a

a a a

=

+



+



+

• • •



• • •

• • •


– схема вычисления произведений, входящих в формулу 

вычисления определителя со знаком плюс,

• • •

• • •


• • •

– схема вычисления произведений, входящих в формулу 

вычисления определителя со знаком минус.

Пример 7.

( )


( ) ( )

( )


( )

( )


( ) ( )

(

)



1

2 3


0

1

1 1



1 5

2

1 2 1 0



4

2

4 5



3

1 2


2 0 5 1

1

4



1



− = ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅⋅ ⋅ − −

− ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ −



=

Пример 8. Определитель матрицы размерностью (х n).

Введем некоторые обозначения. Для элемента определителя



ij

вве-

дем понятие минора 



ij

, который представляет собой определитель, 

оставшийся от вычеркивания из исходного определителя 



-ой строки 

и 

-го столбца. Алгебраическое дополнение



ij

элемента

ij

,имеет вид: 

( )


1

i j

ij

A

M

+

= −



.

Вычислить определитель можно, разложив его по любой строке 

(столбцу): 

1

1



2

2

3



3

i

i

i

i

i

i

in

in

a A

a A

a A

a A

 =


+

+

+ +





.

Пример 9. Вычислить определитель, разложив его по первой 

строке.

( )


( )

( )( )


( )

11

12



13

1 1


1 2

1 3


1

2 3


0

1

1 1



2

3

2



4 5

1

1



0

1

0



1

1

2



1

3 1


1

4 5


2 5

2

4



A

A

A

+

+



+



− = ⋅

+ − ⋅


+ ⋅

=





= −


+ − −

+ −


=



Download 0,59 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
axborot texnologiyalari
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
guruh talabasi
O’zbekiston respublikasi
nomidagi toshkent
o’rta maxsus
davlat pedagogika
texnologiyalari universiteti
toshkent axborot
xorazmiy nomidagi
rivojlantirish vazirligi
pedagogika instituti
Ўзбекистон республикаси
tashkil etish
haqida tushuncha
таълим вазирлиги
vazirligi muhammad
O'zbekiston respublikasi
toshkent davlat
махсус таълим
respublikasi axborot
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
vazirligi toshkent
saqlash vazirligi
fanidan tayyorlagan
bilan ishlash
Toshkent davlat
sog'liqni saqlash
uzbekistan coronavirus
respublikasi sog'liqni
coronavirus covid
koronavirus covid
vazirligi koronavirus
qarshi emlanganlik
covid vaccination
risida sertifikat
sertifikat ministry
vaccination certificate
Ishdan maqsad
fanidan mustaqil
matematika fakulteti
o’rta ta’lim
haqida umumiy
fanlar fakulteti
pedagogika universiteti
ishlab chiqarish
moliya instituti
fanining predmeti