Методическое пособие по линейной алгебре: Учебное посо
Download 0,59 Mb. Pdf ko'rish
|
12 Павлова итог
- Bu sahifa navigatsiya:
- МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
- Павлова Л. С. П121 Методическое пособие по линейной алгебре
- Часть 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- Часть 3. n -мерные векторы и n -мерные векторные пространства
- Часть 4. Задания для самостоятельной работы
- Определители. Вычисление определителей 2-го, 3-го и n -го порядков
|
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Э к о н о м и ч е с к и й ф а к у л ь т е т Л.С. Павлова МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ (отд. «Менеджмент») Москва 2015
©
Экономический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2015 УДК 512.64 ББК 22.151.54я73 П121
бие. – М.: Экономический факультет МГУ имени М. В. Ломо- носова, 2015. – 44 с.
ISBN 978-5-906783-12-7 Линейной алгебре посвящено очень большое количество учебников, учеб- ных пособий. Особенность читаемого курса «Математика» состоит в том, что линейная алгебра является лишь его частью. Курс «Математика» читается в первом семестре первого года обучения на отделении «Менеджмент». Линей- ная алгебра – это лишь часть курса. Необходимость в сжатые сроки ознакомить слушателей с основными понятиями, лежащими в основе этой науки, вызвало необходимость написать пособие, которое следует рассматривать как упрощен- ное изложение базового материала, включенного в курс лекций. УДК 512.64 ББК 22.151.54я73
3
О Г Л А В Л Е Н И Е Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Часть 1. Элементы матричной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Основные понятия и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Свойства матриц и действия с матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Определители. Вычисление определителей 2-го, 3-го и n-го порядков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Свойства определителей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Вычисление обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Метод последовательного полного исключения неизвестных для решения системы линейных алгебраических уравнений (Метод Гаусса-Жордана) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Правило Крамера для решения систем линейных уравнений . . . . . . . . 21 Матричные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Критерий совместности систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера – Капелли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Часть 3. n-мерные векторы и n-мерные векторные пространства. . . . . . . . . . . . . . . 26 Операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Свойства операций над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Линейная зависимость (независимость) векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 База и ранг набора векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Линейные векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Преобразование координат вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Линейные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Задание
Базис и размерность подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Часть 4. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Часть 5. Образец контрольной работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4
В В Е Д Е Н И Е Линейной алгебре посвящено очень большое количество учебни- ков, учебных пособий. Особенность читаемого курса «Математика» состоит в том, что линейная алгебра является лишь его частью. Курс «Математика» читается в первом семестре первого года обучения на от- делении «Менеджмент». Линейная алгебра – это лишь часть курса. Необходимость в сжатые сроки ознакомить слушателей с основными понятиями, лежащими в основе этой науки, вызвало необходимость написать пособие, которое следует рассматривать как упрощенное из- ложение базового материала, включенного в курс лекций.
5
Ч А С Т Ь 1 . Элементы матричной алгебры Основные понятия и обозначения Матрица – прямоугольная таблица, содержащая набор элементов, упорядоченных по строкам и столбцам. Обозначение: 11 12 1 21 22 2 1 2 . n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ … …
… … … … … … … … …
m, n), где m – количество строк матрицы, n – количество столбцов матрицы, ij a – элемент матрицы, i – номер строки,
j – номер столбца матрицы. Если
m = n, матрица называется квадратной. Если квадратная матрица имеет вид 11 12
1 22 23 2 33 3 0 0 0 0 0 0 n n n nn a a a a a a a a a a ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ … … … … … … … … … – она называется верхней треугольной матрицей. Легко представить ниж- нюю треугольную матрицу. Совокупность элементов
ратной матрицы. Если квадратная матрица имеет вид: 11 22 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 nn a a a a ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ … … … … … … … … … – она называется диагональной. Если все элементы главной диагонали диа- гональной матрицы равны единице, то матрица называется единичной и обозначается Е.
6 Часть 1. Элементы матричной алгебры Свойства матриц и действия с матрицами 1. Две матрицы A и B считаются равными, если они имеют одина- ковые размеры и равны их соответствующие элементы ( ) ij ij a b = . 2. Сумма матриц. Суммировать можно только матрицы одинаковой размерности. Суммой матриц А { }
ij a и В
{ } ij b является матрица С, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е. ij ij ij c a b = + .
Пример 1. 1 2 1 1 3 3
0 5 2 3 4 6 1 0
2 4 4 4
, ,
B C A B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ = = = + = ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3. Умножение матрицы на действительное число. При умножении матрицы на действительное число, каждый ее эле- мент умножается на это число. Пример 2: Если:
1 2 1 3 4 6 , А R ⎛ ⎞ − ⎟
⎜ ⎟ = ∈ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ , то
C А = = 2 3 4 6 ⎛ ⎞ − ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ . 4. Свойства сложения матриц и умножения матриц на число: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A B D A A B C A B C A B A B A A A A A
+ = +
+ + = + + + = + + = + = 5. Умножение матриц. Произведением двух матриц: А – размерностью (m, n) и В – размер- ностью (
n, p), является матрица С – размерностью (m, p). Элементы ма- трицы С вычисляются по формуле: 1 1
, ,..., ;
,..., n ij ik kj k c a b i m j p = = = = ∑ . Пример 3. ( )
( ) 1 1
1 2 1 3 0 3 4 6 3 2 2 3 1 1 2 3 1 3 1 1 2 0 1 2
9 3 1 4 3 6 3 3 1 4 0 6 2 , , ( ) ( ) ( ) ( )
B C AB ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎛ ⎞ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − − ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = = = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⎝ ⎠
⎠ Произведение матриц А и В невозможно, если число столбцов ма- трицы
А не равно числу строк матрицы В. 7 Ранг матрицы Если матрицы
ведением будет матрица размерностью ( n, n). Однако, в общем случае, AB BA ≠ . Если матрицы А и В квадратные и их произведением является еди- ничная матрица ( Е), то матрицы являются взаимно обратными. Будем считать , что матрица В является обратной для матрицы А и введем для обратной матрицы обозначение 1
− . Тогда: 1 AA E − = . Отметим, что 1 1 . AA A A E − − = = (Вычисление обратной матрицы приведено в разделе «Определи- тели» и в разделе «Системы линейных алгебраических уравнений»). 6. Свойства произведения матриц: ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 , T T T AB C A BC A B C AC BC A BC AB AC AB A B A B AB B A AB B A − − − = + = + = + = = ∈ℜ = = Ранг матрицы Введем некоторые обозначения и понятия. Обозначим строки матрицы 1 2 ; ; ;
n A A A
. Запишем линейную комбинацию строк матрицы и приравняем ее нулю:
1 1 2 2
0, где n n i A A A + + + = – коэффициенты линейной ком- бинации.
Определение: Если линейная комбинация строк матрицы равна нулю только при нулевых значениях коэффициентов i , то строки матрицы называются линейно независимыми.
трицы называется рангом матрицы. ( r (A)). Утверждения: Ранг матрицы по строкам равен рангу матрицы по столбцам. Линейные преобразования строк (столбцов) матрицы не меня- ют ее ранга. Иначе говоря, если к одной из строк матрицы прибавить другую строку, умноженную на некоторое действительное число, то ранг по- лученной матрицы останется равным рангу исходной матрицы.
8 Часть 1. Элементы матричной алгебры Пример 4. Найти ранг матрицы 2 1 3 2 4 4 2 5 1 7 2 1 1 8 2 A ⎛ ⎞ − − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝ ⎠ . Проведем следующие линейные преобразования строк матрицы: первую строку умножив на –2 прибавим ко второй строке, и умножив на –1 приба- вим к третьей строке. Матрица примет вид: 2 1 3 2 4 0 0 1 5 1 0 0 2 10
2 A ⎛ ⎞ − − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − − ⎝ ⎠ Заметим, что вторая и третья строки матрицы пропорциональны. Сле- довательно, только две строки линейно независимы. Ранг матрицы ра- вен 2. (
r (A)=2). Пример 5. При всех значениях параметра р определить ранг ма- трицы.
1 2 1 1 2 2 1 р р ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝ ⎠ Прибавим первую строку матрицы ко второй строке и вычтем пер- вую строку из третьей. Получим матрицу: 1 2
0 0 1 1 0 0 . р р ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −
⎝ ⎠ Очевидно, что при р = 1 ранг матрицы равен 1 ( ) 1 r = , при
1 3
r ≠ = . Ответ: 1 1 1 3 . . p r p r = = ≠ =
Вычисление определителей 2-го, 3-го и n-го порядков Квадратной матрице можно поставить в соответствие некоторое число, называемое определителем матрицы.
сумма произведений элементов матрицы, не стоящих одновременно в одном и том же столбце, в одной и той же строке. 1. Определитель матрицы размерностью (2Х2). 11 12
12 21 21 22 a a a a a a a a = − Пример 6. 4 2
4 5 2 3 14 3 5
= ⋅ − ⋅ = 9 Свойства определителей 2. Определитель матрицы размерностью (3Х3). 11 12 13 21 22 23 11 22 33
12 23 31 13 21 32
31 32 33 13 22 31 12 21 32
11 23 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − + • • • • • • • • •
– схема вычисления произведений, входящих в формулу вычисления определителя со знаком плюс, • • • • • •
• • • – схема вычисления произведений, входящих в формулу вычисления определителя со знаком минус.
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1 2 3
0 1 1 1 1 5 2 1 2 1 0 4 2 4 5 3 1 2
2 0 5 1 1 4 1 − − − = ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅⋅ ⋅ − − − − ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − = Пример 8. Определитель матрицы размерностью (n х n). Введем некоторые обозначения. Для элемента определителя ij a вве- дем понятие минора ij M , который представляет собой определитель, оставшийся от вычеркивания из исходного определителя i -ой строки и
ij A элемента ij a ,имеет вид: ( )
1 i j ij A M + = − . Вычислить определитель можно, разложив его по любой строке (столбцу): 1 1 2 2 3 3 i i i i i i in in a A a A a A a A =
+ + + + .
строке. ( )
( ) ( )( )
( ) 11 12 13 1 1
1 2 1 3
1 2 3
0 1 1 1 2 3 2 4 5 1 1 0 1 0 1 1 2 1 3 1
1 4 5
2 5 2 4 A A A + + + − − − = ⋅ + − ⋅
+ ⋅ = − − − − − = −
+ − − + −
= − − Download 0,59 Mb. Do'stlaringiz bilan baham:
|
Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha
yuklab olish