Методическое пособие по линейной алгебре: Учебное посо
Базис и размерность подпространства
Download 0,59 Mb. Pdf ko'rish
|
12 Павлова итог
|
Базис и размерность подпространства Определение. Максимальный линейно независимый набор векторов 1 2 , , , k a a a … подпространства L называется базисом подпространства. Для всякого вектора b L ∈ существует разложение 1 2
2 ,
k j b a a a R = + + +
∈ … . Коэффициенты j разложения вектора определены единствен- ным образом и являются координатами данного вектора в базисе 1 2
, , , . k a a a …
L равна количе- ству векторов в любом базисе подпространства. Рассмотрим проблему нахождения базиса и размерности подпро- странства L для каждого случая задания подпространства. 36 Часть 3. n-мерные векторы и n-мерные векторные пространства Пусть подпространство задано в виде оболочки: { } 1 2 , , , k L a a a = … . Базисом подпространства L является максимальный линейно не- зависимый поднабор набора векторов оболочки. Количество векторов в базисе
в виде оболочки: { }
2 3 4 5 1 0 0 1 2 1 1 0 1 1 1 1 1 2 3 4 0 1 2 3 ( , , , ),
( , , , ), ( , , , ), ( , , , )
= − и задать данное подпространство в виде однородной системы линей- ных уравнений. Решение.
Выделим максимальный линейно независимый поднабор данного набора векторов. Запишем линейную комбинацию данных векторов оболочки и приравняем ее нулю: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0 a a a a a + + + + = 1 2 3 4 5 1 2 1 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 3 2 0 1 0 1 4 3 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + + + + = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟
⎟⎟ Запишем уравнение в матричном виде и преобразуем систему ме- тодом Гаусса-Жордана. 1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2 0 1 0 1 4 3 0 0 2 2 5 3 0 1 0
1 3 2 0 1 0 1 0 1 0
0 1 1 2 1 0 0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
1 1 0
0 0 0 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⇒ ⇒ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ − ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎛ ⎞ ⎛ − − − − ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⇒ ⇒ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎟
⎟⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ Очевидно, векторы 1 2
, , a a a образуют максимальный линейно не- зависимый поднабор векторов, который и выберем в качестве базиса L. Размерность подпространства равна трем ( 3 dim L = ). Записать данное подпространство в виде однородной системы линейных уравнений. Из определения оболочки следует, что любой вектор
∈ является линейной комбинацией векторов оболочки: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
a a a a x + + + + = .
37 Линейные подпространства 1 2
2 3 4 5 3 4 1 2 1 1 0 0 1 1 2 1 0 1 1 3 2 1 0 1 4 3
x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + + + + = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ − ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟
⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟
Получили неоднородную систему линейных уравнений, которая, по условию, должна быть совместна. Запишем систему в матричном виде и решим методом Гаусса-Жордана. 1 1
2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 2 4 1 2 1 2 1 1 0 1 2 1 1 0 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 0 1 1 3 2 0 1 1 3 2 1 0 1 4 3 0 2 2 5 3 1 0
1 3 2 2 0 1 1
2 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 2 1 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⇒ ⇒ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ − + ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − − − − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ ⇒ ⎜ ⎟⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − ⎜⎝ ⎠ − ⇒ 1 2 2 3 2 4 1 2 3 1 0 1 2 0 1 1 0
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⇒ ⎜ ⎟⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − − ⎜⎝ ⎠ ⇒ Анализируя последнюю таблицу, замечаем, что чтобы система была совместна необходимо, чтобы в последнее строке свободный эле- мент равнялся нулю. Следовательно, заданное в примере подпростран- ство может быть представлено в виде неоднородной системы линейных уравнений, в данном случае состоящей из одного уравнения: { 1
3 4 0 x x x x − − + = . Пусть подпространство L задано в виде однородной системы линейных уравнений. Так как множество решений однород- ной системы линейных уравнений является подпространством, то для нахождения базиса подпространства необходимо найти максимальный линейно независимый набор частных решений системы. Такой набор называется фундаментальным набором ре- шений. Рассмотрим на примере нахождение базиса L, заданного однородной системой уравнений. Пример 27. Найти базис и размерность подпространства L, задан- ного в виде однородной системы линейных уравнений: 38 Часть 3. n-мерные векторы и n-мерные векторные пространства 1 2
5 6 1 2 4 5 6 0 2 0 x x x x x x x x x x ⎧ + − + − = ⎪⎪ ⎨⎪ + + + − = ⎪⎩ Решим данную систему и выпишем общее решение. 1 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 0
1 0 3 1
1 0 1 2 1 1
1 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞ − − − − − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⇒ ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ − ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎠ Общее решение имеет вид:
1
4 5 2 3 3 2 x x x x x x ⎧ =
− + ⎪⎪ ⎨⎪ =− ⎪⎩ Переменные 3 4
, , x x x являются свободными и, следовательно, могут принимать произвольные значения из множества действи- тельных чисел. Так как свободных переменных три, то можно выде- лить три линейно независимых частных решения из множества ре- шений системы. Для этого зададим свободным переменным значения 3 4 5 1 0 0 , ,
x x = = = ; Затем
3 4 5 0 1 0 , , x x x = = = и 3 4 5 0 0 1 , ,
x x = = = . Получим макси- мальный линейно независимый набор частных решений (фундамен- тальный набор) 1 2 3 3 2 1 0 0 1 0 0 1 0 10 0 0 1 ( , , , , ),
( , , , , ), ( , , , , ).
= −
= − = Каждое частное решение суть вектор, принадлежащий заданному подпространству. Следовательно, размерность заданного подпростран- ства равна трем 3 (dim
) L = , а базисом служат векторы 1 2
, , b b b . Можно подпространство задать в виде оболочки: { }
2 3 3 2 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 : ( ,
, , , ), ( , , , , ), ( , , , , ) . L b b b = −
= − =
39 Часть 4. Задания для самостоятельной работы Ч А С Т Ь 4 . Задания для самостоятельной работы Часть 4. Задания для самостоятельной работы 1. Вычислить произведения матриц: 1)
1 2 2 4 3 4 3 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2)
3 1 1
0 1 ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ 3) 2 1 3 1
4 2 0 2
1 1 1 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − − ⎝ ⎠⎝ ⎠
4) 5 4 2 5 2 5 3 4 3 1 ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎛ ⎞ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜− − ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ 5) 5 8
4 3 2 5 6 9
5 4 1 3
4 7 3 9 6 5
⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ − − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − ⎝ ⎠⎝ ⎠
6) 4 3 28 93 7 3 7 5 38
126 2 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ − ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 7) 2 1 3 2 n ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝ ⎠ 2. При вcех значениях параметра р вычислить ранг матрицы. а) 3 1 1 4
4 10 1 1 7 17 3
2 2 4 3 р ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠
1 1
2 1 5 1 10 6
1 р р ⎛ ⎞ − − ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜− −
− ⎝ ⎠ в) 1 1
1 1 1 1 р р р ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ 3. Вычислить определители. 1) 7 5
4 4 2)
cos sin
sin cos
− 3) 1 2 3 4 5 6
7 8 9 4)
5 2 3 4 3 2
2 3 1 4) Вычислить определитель, разлагая по второму столбцу: 2 2 0 1 2 1 3 4
1 1 0 2 5 2 1 0
Вычислить этот же определитель, разлагая по третьей строке. 5) Вычислить определители, используя их свойства: 40 Часть 4. Задания для самостоятельной работы a) 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 1 0 б) 3 3 5 8 3 2
4 6 2 5 7 5
4 3 5 6 − − − − − − − −
в) 1 1 2 3
1 0 0 3 6 3 1
3 3 3 1
2 − − 4. Вычислить обратные матрицы с использованием определите- лей.
а) 3 1
5 2 ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ б) 1 1 2
0 2 1 1 0 1 ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ в)
1 5 1 3 2 1
6 2 1
⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝ ⎠ г) 1 2 3 4 5 6
7 8 9 ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ 5. Решить системы уравнений по правилу Крамера. а) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 2 1 6 5 6 4 3 5 3 2 2 2 9 3 3 2 2 3 2 3 0 4 2 3 4 5 2 1 ) )
x x x x x x x x x x x б x x x в x x x x x x x x x x x x ⎧ ⎧ ⎧ + − = − + = − + = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + − = − + = − + = ⎨ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + − = − − = − + = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩ 6. Решить системы уравнений методом Гаусса-Жордана. а) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 2 1 6 5 6 4 3 5 3 2 2 2 9 3 3 2 2 3 2 3 0 4 2 3 4 5 2 1 ) )
x x x x x x x x x x x б x x x в x x x x x x x x x x x x ⎧ ⎧ ⎧ + − = − + = − + = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + − = − + = − + = ⎨ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + − = − − = − + = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩ 7. Найти общее решение (или показать, что система несовместна) и одно частное решение систем уравнений: 1 2
4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 4 2 3 3 5 2 4 2 6 8 2 5 7
7 4 3 5 9 12 3 10 13 5 7 4 6 3 2 5 8 8 4 3 9 9
2 3 5 7 8 7 12 ) ) ) x x x x x x x x а x x x x б x x x x x x x x x x x x x x x x x x в x x x x x x ⎧ ⎧ + + +
= − + + = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + + + = − + + = ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + + + = + − − = ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎧ + − = ⎪⎪⎪ ⎪ + − = ⎪⎪⎨
⎪ + − = ⎪ + − = ⎩ ⎪⎪⎪ ⎪ Исследовать систему и найти решения в зависимости от значений параметра р:
1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 3 2 5 4 3 1 2 3 6 8 5
1 6 9 20 13 1 4 4 2 ) ) x x x x рx x x x x x x г д x рx x x x x x x x рx x x x рx ⎧ + + + = ⎪⎪ ⎧ + + = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + + + = ⎪ ⎪⎪ ⎪ +
+ = ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ − − − =− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + + = ⎪⎩ ⎪ + +
+ = ⎪⎪⎩ |
Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha
yuklab olish