Методическое пособие по линейной алгебре: Учебное посо

41

Часть 4. Задания для самостоятельной работы

8.  Выяснить, являются ли следующие наборы векторов линейно за-

висимыми или линейно независимыми:

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

1 2 3

4 5 6 2

1 2

1 3

7 7

3

5 4 3

3 3 2

8 1 3

4

1 2 0 0

1 2 3 4

3 6 0 0

)

, , ,

, ,

)

, ,

, ,

,

,

)

, , ,

, , ,

, ,

)

, , , ,

, , , ,

, , ,

а

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a

=

=

=

=

= −

=

=

=

=

=

=

9.  Найти какую-нибудь базу и ранг набора векторов. Вектор на-

бора, не вошедший в базу, представить в виде линейной комбинации 

векторов базы.

1) 

(

)

(

)

(

)

(

)

1

2

3

4

8 2 6 4

3 1 4 2

4 1 3 2

6 2 8 4

,

, ,

,

, ,

,

, ,

,

, ,

a

a

a

a

= −

−

= −

−

= −

−

= −

−

 2) 

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

2

3

4

5

1 1 1

3 2 3

1 2 3

4 3 4

2 3 4

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

a

a

a

a

a

=

=

=

=

=

3) Доказать, что следующие векторы 

(

)

(

)

1

2

1 1 1   1 1 2

, , ,

, , ,

a

a

=

=

 

(

)

3

1 2 3

, ,,

a =

 образуют базис и найти координаты вектора, и найти ко-

ординаты вектора 

(

)

6 9 14

, ,

x =

 в этом базисе.

4) Вектор 

(

)

1 1 1

, ,

с =

−  задан своими координатами в базисе из век-

торов 

(

)

(

)

(

)

1

2

3

2 2 1

0 1 1

3 3 2

, , ,

, , ,

, ,,

a

a

a

=

=

=

 Найти его координаты в ба-

зисе из векторов 

(

)

(

)

(

)

1

2

3

1 3 1

1 0 2

1 1 0

, , ,

, , ,

, ,

b

a

a

=

=

=

10.  Являются ли подпространствами следующие совокупности век-

торов?

1) Все векторы 

n-мерного пространства, координаты которых – 

целые числа.

2)  Все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на дан-

ной прямой.

3) Все 

n-мерные векторы, у которых координаты с четными номе-

рами равны единице? (Равны нулю?).

4)  Все векторы пространства, координаты которых удовлетворяют 

уравнению:

1

2

3

0

n

x

x

x

x

+ + + + =



5)  Все векторы плоскости, координаты которых удовлетворяют 

условию: 

1

2

x

x

=

42

Часть 5. Образец контрольной работы 

Ч А С Т Ь   5

. 

Образец контрольной работы

1.  Дать определение понятию «линейная зависимость векторов».

2.  Доказать, что определитель матрицы, содержащей две пропор-

циональные строки, равен нулю.

3. Для каждого значения параметра определить ранг данной ма-

трицы. 

5

3

1

7

6

4

3

2

p

⎛

⎞

− ⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

−

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎟

⎜

⎟

⎜

−

⎝

⎠

4.  Вычислить определитель, используя свойства определителя:

4

3 5

3

2 8

1

7

5

−

−

−

−

5.  Найти все решения СЛАУ в зависимости от значения параме-

тра 

р .

1

2

3

1

2

3

1

2

2

3

0

3

2

7

2

8

х

х

х

х

х

рх

х

х

⎧ +

−

=

⎪⎪⎪

⎪

+

+

=

⎨⎪

⎪⎪

+

=

⎪⎩

 Выписать эти решения.

6. Найти матрицу обратную к данной. Сделать проверку резуль-

тата.

6

2

5

3

5 2

4

7 3

⎛

⎞

−

−

− ⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

−

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟⎟

⎜

⎟

⎜−

−

⎝

⎠

7.  Найти какую-нибудь базу и ранг данного набора векторов. Любой 

вектор, не вошедший в базу, представить в виде линейной комбинации ба-

зовых векторов 

1

2

3

4

1 2 1   1 2 2   0 1 0   4 2 3

( ,

,

),

( ,

, ),

( , , ),

( ,

, ).

а

а

а

а

= − −

= −

=

= −

8. Вектор 

1 1 1

( ,

, )

a

c =

−

 задан своими координатами в базисе из век-

торов 

1

2

3

1 3 4   1 1 3   1 2 3

( , , ),

( , ,

),

( , , )

а

а

а

=

=

−

=

.Найти его координаты в ба-

зисе из векторов 

1

2

3

1 2 3   2 1 0   0 1 1

( , , ),

( , , ),

( , , )

b

b

b

=

=

=

9.  Найти базис и размерность подпространства L и задать его в виде 

однородной СЛАУ.L:{

1

2

3

10 0 3   1 1 1 1  

3 1 1 7

( , , ),

( , , , ),

( , , , ).

а

а

a

=

=

}

43

Часть 4. Задания для самостоятельной работы

Л И Т Е Р А Т У Р А

Рекомендуемая литература

Курош А.Г.

1. 

 Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971.

Проскуряков И.В.

2. 

 Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Лабора-

тория Базовых Знаний, 2001.

Малугин В.А.

3. 

 Линейная алгебра: Учебное пособие. – М.: Рид Групп, 

2011.

Дополнительная литература

Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под 

1. 

общ. ред. В.И. Ермакова. – М., 2007.

Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное 

2. 

пособие / Под общ. ред. В.И. Ермакова. – М., 2007.

Научное электронное издание

Павлова Лия Сергеевна

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ 

ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ