Методическое пособие по линейной алгебре: Учебное посо
Download 0,59 Mb. Pdf ko'rish
|
12 Павлова итог
- Bu sahifa navigatsiya:
- Метод последовательного полного исключения неизвестных для решения системы линейных алгебраических уравнений (Метод Гаусса-Жордана)
|
16 Часть 2. Системы линейных алгебраических уравнений 11 12 13 1 1 1 21 22 23
2 2 2 31 32 33 3 3 3 1 2 3 ....................... n n n m m m mn n m a a a a x b a a a a x b a a a a x b a a a a x b ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ … … …
… ⎟⎟ или в виде расширенной матрицы си- стемы: 11 12 13
1 1 21 22 23 2 2 31 32 33 3 3 1 2 3 ...................... n n n m m m mn m a a a a b a a a a b a a a a b a a a a b ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ … … … …
для решения системы линейных алгебраических уравнений (Метод Гаусса-Жордана) Метод Гаусса-Жордана заключается в том, что путем элементарных преобразований система приводится к специальному виду, из которого все решения системы становятся очевидными. Сначала рассмотрим решение системы на конкретном примере. Пусть дана система: 1 2
1 2 3 1 2 3 2 5 9 3 2 3 6 25
x x x x x x x x ⎧ +
+ =− ⎪⎪⎪ ⎪ − + = ⎨⎪ ⎪⎪ − − = ⎪⎩ или в матричной записи
1 2
5 9 1 1 3 2 3 6 1 25 ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ − − ⎜⎝ ⎠ Выразив, например, 1 x из первого уравнения и подставив его пред- ставление через остальные переменные во второе и третье уравнения, приведя подобные члены, получим эквивалентную систему: 1 2 3 2 3 2 3 2 5 9 3 2 11 12 16 52
x x x x x x ⎧ +
+ =− ⎪⎪⎪ ⎪ − − = ⎨⎪ ⎪⎪ − − = ⎪⎩ или в матричной записи 1 2 5 9 0 3 2 11
0 12 16 52 ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ − − ⎜⎝ ⎠ . Заметим, что эта матрица получена из исходной матрицы системы путем следующих операций: первая строка осталась неизменной, первая строка умножается на –1 и прибавляется ко второй строке,
17 Метод Гаусса-Жордана первая строка умножается на –3 и прибавляется к третьей строке.
Первую строку в данном примере выбрали в виде ведущей строки, а коэффициент при первой неизвестной – ведущим элементом. Продолжим линейные преобразования системы. Выразив 2
рого уравнения и подставив его представление через остальные пере- менные в первое и третье уравнения, приведя подобные члены, полу- чим эквивалентную систему:
1 3 2 3 3 11 5 3 3 2 11 3 3 8 8
x x x x ⎧⎪⎪ +
=− ⎪⎪⎪
⎪⎪⎪ + =− ⎨⎪ ⎪⎪ − = ⎪⎪⎪
⎪⎪⎩ или в матричной записи 11 5
2 11 0 1 3 3 0 0 8 8
⎛ ⎞⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ И, наконец, выразив 3 x из третьего уравнения и подставив его в первое и третье уравнения, получим эквивалентную систему: 1 2
2 3 1 x x x ⎧ =
⎪⎪⎪ ⎪ =− ⎨⎪ ⎪⎪ =− ⎪⎩ или в матричной записи 1 0 0 2 0 1 0 3
0 0 1 1 ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ − ⎜⎝ ⎠ . Результат – данная система линейных уравнений имеет единствен- ное решение, которое запишем в виде
В дальнейшем, при решении систем линейных уравнений, будем пользоваться матричной записью системы. Перейдем к изложению метода Гаусса-Жордана в общем виде. Не- обходимо найти решение системы линейных уравнений: 11 1
12 2 13 3
1 1 21 1 22 2 23 3
2 2 31 1 32 2 33 3
3 3 1 1 2 2 3 3
......................................................... n n n n n n m m m mn n m a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b ⎧ + + + +
= ⎪⎪⎪
⎪ + + + + = ⎪⎪⎪⎪ + + + + = ⎨⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ + + + + = ⎪⎪⎩ … … … … Запишем систему в матричном представлении: 11 12 13 1 1 21 22 23 2 2 31 32 33 3 3 1 2 3 ...................... n n n m m m mn m a a a a b a a a a b a a a a b a a a a b ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ … … … …
18 Часть 2. Системы линейных алгебраических уравнений Первая итерация метода: умножим первую строку на 21 11 a a − и при- бавим ее ко второй строке, затем умножим первую строку на 31 11 a a − и прибавим ее к третьей строке. И так далее до преобразования послед- ней строки матрицы. В результате, получим матрицу системы в виде: 11 12 13
1 1 22 23 2 2 32 33 3 3 2 3 0 0 0 ...................... n n n m m mn m a a a a b a a a b a a a b a a a b ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′ ′ ′ ′ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ′ ′
′ ′ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ′ ′ ′ ′ ⎝ ⎠ … … … … Вторая итерация: умножим вторую строку на 12 22
a − ′ и прибавим ее к первой строке, затем умножим вторую строку на 32 22 a a − ′ и прибавим ее к третьей строке, и так далее до преобразования последней строки матрицы. В результате получим матрицу системы в виде: 11 13
1 22 23
2 2 33 3 3 3 0 0 0 0 0 0 ...................... n n n m mn m a a a b a a a b a a b a a b ⎛ ⎞ ′ ′ ′ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′ ′ ′ ′ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ′′ ′′ ′′⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ′′ ′′ ′′⎟ ⎜⎝ ⎠ … … … … Третья итерация: умножим третью строку на 13 33
a ′ − ′′ и прибавим её к первой строке, затем умножим третью строку на 23 33 a a ′ − ′′ и прибавим ее ко второй строке, и так далее до преобразования последней строки матрицы. В результате, получим матрицу системы в виде: 11 1
22 2 2 33 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
...................... n n n mn m a a b a a b a a b a b ⎛ ⎞ ′ ′′⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′ ′ ′′ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ′′ ′′ ′′⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ′′′
′′′⎟ ⎜⎝ ⎠ … … … …
Элементы матрицы 11
22
33
тами.
19 Метод Гаусса-Жордана Когда закончится процесс преобразования системы? Последова- тельность итераций закончится, если нельзя выбрать новый ведущий элемент. Если в результате проведения последней (к-ой) итерации матрица примет вид (т.е.
1 11 2 22 33 3 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
...................... k k k k k mn m b a b a a b a b ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ′ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′′ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … … …
… то система совместна и имеет единственное решение: 3 1 2 1 1 2 2 3 3 11 22 33 , , k k k b b b x с x с x с a a a = =
= = = =
′ ′′ и т.д. Если поделить каждую строку полученной матрицы на значение ведущего элемента соответствующей строки, то значения переменных будут расположены в столбце свободных членов. Иначе говоря, ма- трица примет вид: 1 2
1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
1 ...................... i m с с с с c ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ … … … … Рассмотрим на примерах применение метода Гаусса-Жордана. Пример 12. Решить систему уравнений 1 2 3 1 3 1 2 2 3 2 3 3 3 3 8 13 3 8 x x x x x x x x x ⎧ − + = ⎪⎪⎪ ⎪ − =
⎪⎪⎨ ⎪ + = ⎪⎪⎪
− = ⎪⎪⎩ Перепишем систему в матричном виде: 2 3 1 3 1 0 1 3
3 1 0 8 0 13 3 8 ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ − ⎝ ⎠ Поменяем местами уравнения: 1 0
1 3 2 3 1 3 3 1 0 8 0 13 3 8 ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ − ⎝ ⎠ Решим систему методом Гаусса-Жордана: 20 Часть 2. Системы линейных алгебраических уравнений 1 0 1
3 3 1 0 1 1 0
1 3 3 1 2 3 1 0 3 3
0 1 1 8 1 1 3 1 0 0 1 3 0 1 3
8 8 8 0 13 3 0 13 3 0 13
3 1 0
1 3 1 0 1 1 2 0 0 4 5 0 0 10
⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ − − − ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ − − − ⎜ − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⇒ ⇒ ⇒ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ − − ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ − − − ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜⎜⎜ − ⎜ ⎠ ⎝ 1 2 3 1 0 1 1 0
1 3 3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 2
0 0 1 0 0 1 1 2
0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 5 2 0 1 0 1 2 Ответ
5 2 1 2
1 2 0 0 1 1 2 / /
/ / : / ; / ;
/ /
x x ⎛ ⎛ − − ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − − ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⇒ ⇒ ⇒ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ − − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ − ⎜ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ ⇒ = = =− ⎜ ⎟⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ Данная система имеет единственное решение. Пример 14. Решить систему уравнений: 1 2 3 1 2 3 2 3 4 2
x x x x x ⎧ − + = ⎪⎪ ⎨⎪ + − = ⎪⎩ Поскольку система состоит из двух уравнений и трех переменных, то она либо несовместна, либо имеет множество решений. Решим си- стему.
1 3 2 3 2 2 1 3 4 3 0 2 6
2 1 0 3
1 1 1 2
1 1 1 2
2 1 1
1 2 2 1 0 2 2 3 3 5 0 5 0 1
3 3
x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⇒ ⇒ ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ − − ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎟ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎧⎪
⎟ ⎜ ⎪ = − ⎟ ⎜ ⎪ ⎟ ⎜ ⎪ ⎟ ⎜ ⇒ ⇒ ⎟ ⎨
⎜ ⎟ ⎪
⎜ ⎟ ⎪
⎟ ⎜ − = ⎟ ⎪
⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎪⎩ Система имеет множество решений. 1
2
ными переменными, а 3
бодной переменной конкретное числовое значение, получим частное решение системы уравнений. Например, пусть 3 3 x = , то частное решение имеет вид: 1 2 3 0 5 3 ; ; . x x x = = = Пример 15. Решить систему уравнений: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 5 9 3 2 3 6 25 x x x x x x x x x ⎧ +
+ =− ⎪⎪⎪ ⎪ − + = ⎨⎪ ⎪⎪ − − = ⎪⎩ |
Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha
yuklab olish