Методическое пособие по линейной алгебре: Учебное посо
Download 0,59 Mb. Pdf ko'rish
|
12 Павлова итог
- Bu sahifa navigatsiya:
- Свойства операций над векторами 1.
- Определение.
- База и ранг набора векторов Определение.
- Теорема.
|
Определение. Вектор с длиной равной нулю называется ноль- вектором 0 ( ) . Для ноль – вектора понятие направления не опреде- лено, а все его координаты равны нулю. Операции над векторами 1.
Произведение вектора на действительное число. Умножить вектор на число – значит умножить каждую координату вектора на это число: ( ) 1 2 , , , ;
a a a a R = ∈
. 2. Сумма векторов. Даны два вектора одинаковой размерности. Суммой двух (и более) векторов является вектор, координатами которого служат суммы соот- ветствующих координат векторов-слагаемых. 27 Линейная зависимость (независимость) векторов ( ) (
) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ), , , , , , , .
n n n n a a a a b b b b c a b a b a b a b c c c = = = + = + + + =
Свойства операций над векторами 1. a b b a + = + 2. ( ) ( ).
c a b c + + = + + 3. ( ) , .
a b R + = + ∈
( )
, a a a R
+ = + ∈ 5. ( )
( ) , , a a R
= ∈
6. 0
a + = . 7. ( )
0. a a + − =
8. 0 0. a ⋅ =
Линейная зависимость (независимость) векторов Определение. Совокупность конечного числа векторов называется набором векторов. Определение. Линейной комбинацией векторов 1 2
. , , k a a a
называ- ется вектор b такой, что 1 1
2 2 3 3
, .
k i b a a a a R = + + + + ∈ Пример 19. Даны векторы 1 2
2 0 6 4 1 2 1 0 4 0 3 2 ( , , ,
), ( ,
, , ), ( , ,
, ) a a a = − = − = − . Найти линейную комбинацию 1 2
2 3
a a + − . Для решения задачи удобно за- писать векторы в виде векторов-столбцов. Линейная комбинация векторов запишется в виде: 2 1
3 0 2 0 6 2 3 6 1 3 18 4 0 2 10 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟
⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ − − ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + − = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Результатом линейной комбинации данных векторов является век- тор 3 6 18 10 ( ,
, , ) b = − − Определение. Если какой-либо вектор является линейной комбина- цией некоторого набора векторов, то говорят, что этот вектор линейно выражается через векторы данного набора.
1 2
. , , k a a a
называются линейно зависимыми, если существуют действительные числа 1 2
, , , , k
не все рав- ные нулю и такие, что имеет место следующая линейная комбинация 1 1
2 2 3 3
0. k k a a a a + + + +
=
28 Часть 3. n-мерные векторы и n-мерные векторные пространства Определение. Векторы 1 2
. , , k a a a
называются линейно независи- мыми, если равенство 1 1
2 2 3 3
0 k k a a a a + + + +
=
выполняется только при всех i , равных нулю. Пример 20. Выяснить, является ли данный набор векторов ли- нейно зависимым или линейно независимым. Даны векторы: 1 2
2 3 1 3 1 5 1 4 3 ( ,
, ), ( ,
, ), ( ,
, ) a a a = −
= − = −
. Запишем линейную комбинацию данных векторов, приравняем ее нулю, и решим полученную систему линейных уравнений относи- тельно коэффициентов линейной комбинации 1 1 2 2
3 3 0
k a a a a + + + +
=
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 0 3 1 4 0 1 5 3 0 2 3 0 3 3 0 3 4 0 5 3 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ − +
− + − =
→ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + + + = ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ → −
− − = → ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 3 1 2 3 3 4 0 5 3 0 ⎧⎪⎪ ⎪⎪− − − = ⎨⎪ ⎪⎪ + +
= ⎪⎩ Решаем систему методом Гаусса-Жордана. 1 2 3 2 3 1 0 2 3 1 0 0 7 5 0 3 1 4 0 3 1 4 0 0 14 5 0
1 5 3 0 1 5 3 0 1 5 3 0 0 7 5 0 0 0 5 0
0 7 0 0 0 7 0 0
0 1 5 3 0
1 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ − − − ⇒ −
− − ⇒ ⇒ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⇒ ⇒ ⇒ = = =
⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Получено единственное, нулевое решение. Следовательно, данный набор векторов является линейно независимым. Пример 21. Выяснить, является ли данный набор векторов линейно зависимым или линейно независимым. Даны векторы: ( )
) ( ) 1 2 3 5 4 3 3 3 2
8 1 3 , ,
, , ,
, , ,
a a a = = = . Запишем линейную комбинацию данных векторов, приравняем ее нулю, и решим полученную систему линейных уравнений относи- тельно коэффициентов линейной комбинации 1 1 2 2
3 3 0
k a a a a + + + +
=
29 База и ранг набора векторов 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 3 8 0 5 3 8 4 3 1 0 4 3 3 2 3 0 3 2 3 0 5 3 8 0 0 4 0 ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + + = → + + = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ + + ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞
+ + = ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟
⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠
1 2 3 1 2 3 3 0 3 2 3 0 ⎧⎪⎪ ⎪⎪ + + =
⎨⎪ ⎪⎪ +
+ = ⎪⎩ Решаем систему методом Гаусса-Жордана. 1 3 2 3 5 3 8 0 1 0 7 0 1 0
7 0 4 3 1 0
4 3 1 0 0 3
27 0 3 2 3 0
3 2 3 0 0 2
18 0 1 0 7 0
1 0 7 0 0 1
9 0 0 1
9 0 7 9 0 1 9 0
0 0 0 0 , ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⇒ ⇒ − ⇒ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⇒ − ⇒ − ⇒ =− = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Система имеет множество решений, следовательно, линейная ком- бинация данных векторов равна нулю и при не нулевых значениях ко- эффициентов линейной комбинации. Это означает, что данный набор векторов линейно зависим.
набор векторов из данного набора, удовлетворяющий двум условиям: 1) вектора этого поднабора векторов линейно независимы; 2) всякий вектор, не вошедший в максимальный поднабор векторов, линейно выражается через вектора этого поднабора.
векторов. Определение. Количество векторов в базе (в максимальном линейно независимом поднаборе) называется рангом набора векторов. Пример 22. Дан набор векторов: 1 2
0 1 1 3 1 2 1 0 0 2 2 6 ( ,
, , ); ( , ,
, ); ( , ,
, ).
a a = −
= − = − − Составим линейную комбинацию этих векторов и проверим, при каких значениях коэффициентов линейная комбинация равна нулю. 1 1
2 2 3 3
1 2 3 0 1 0 0 1 2 2 0 0 1 1 2 0 3 0 6 0 ; ; a a a ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ − ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + + = + + = ⇒ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
30 Часть 3. n-мерные векторы и n-мерные векторные пространства 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 1 0 0 1 2 2 0 1 1 2 0 3 0 6 0 ⎧ + + = ⎪⎪⎪ ⎪− + + = ⎪⎪ ⇒⎨⎪ − − = ⎪⎪⎪ + − = ⎪⎪⎩
Решим полученную однородную систему линейных уравнений. 1 0 1 0 0
1 1 2 0 1 2 2 0
1 2 2 0
1 1 2 0 0 1 0 0 3 0 6 0 3 0 6 0 1 1 2 0 1 0 2 0
0 1 0 0
0 1 0 0
2 0 1
0 0 0 0 0 0
0 3 0 0
0 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ − − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⇒ ⇒ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − − ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ − − ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − − ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⇒ ⇒ ⇒ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 2 0 ⎧⎪⎪ ⎨⎪ =
⎪⎩ Решение системы имеет две базисные переменные 1 2
и одну сво- бодную
3 .
Следовательно, максимальный линейно независимый поднабор (база) состоит из двух векторов. Базой могут служить наборы векторов 1 2
a a и 2 3 , a a . Указанными двумя базами исчерпываются все базы дан- ного набора векторов. Каждая база содержит два линейно независимых вектора. Ранг рассматриваемого набора векторов равен 2 .
Download 0,59 Mb. Do'stlaringiz bilan baham:
|
Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha
yuklab olish