|
2-§. Geometrik progressiyaning hadlari yig’indisini va proporsiyalarni hisoblashda Beruniyning usullaridan foydalanish.
Beruniyning astronomiya sohasida erishgan muvaffaqiyatlari asosan matematik bilimlarni chuqur bilishi bilan isbotlanadi. “Qonun Mas’udiy”da matemaika haqida u bunday deydi: “Men matematika bilan bog‘liqman, uni tug‘ilgan vaqtlarimdan buyon chuqur bilaman”.
Matematika uni avvalo astronomik tekshirishlarga zarur qurol sifatida o‘ziga jalb qilgan. Biroq bu sohada Beruniy erishgan natijalar shunday ahamiyatliki, hatto hozir olimlar uning matematik merosini o‘rgana turib, Beruniy o‘rta asr davrining yirik matematiklaridan biri degan xulosaga kelyaptilar.
Abu Rayhon Beruniyning matematik asrlari yaqindagina ma’lum bo‘ldi: uning matematikaga oid risolalarining ilk tarjimalari faqat o‘tgan asrning oxirlarida bajarildi. Beruniy matematik ijodining keyingi yillardagi o‘rganilishi yuqorida aytilgan fikrning to‘g‘riligini tasdiqladi. Hozir biz Beruniyni ajoyib matematik, hisoblash mutaxassisi va nazariyotchisi deb bilamiz. Uning matematik qiziqishlari davrasi nihoyatda keng bo‘lgan. U arifmetika, algebra, geometriya, trigonometriya, sonlar nazariyasi masalalari bilan shug‘ullangan, astronomiya, geografiya, geodeziya, kartografiya va xronologiya bilan bog‘liq bo‘lgan ko‘p amaliy masalalarni echdi. SHu bilan birga, u o‘z davriga nisbatan yuksak nazariy tafakkur cho‘qqisiga ko‘tarildi, bunga uning trigonometrik funksiyalardagi umumiy qonuniyatlarni bilganligi dalil bo‘ladi.
Beruniy matematikaga ko‘p marta murojaat qilgan. U matematikaga maxsus asarlarini bag‘ishlabgina qolmasdan, balki boshqa ilmiy asarlarida ham, asosan astronomiyada, unga ko‘p joy ajratgan.
Biz yuqorida nomlari eslatilgan uning asarlaridan ayrim matematik masalalar ustida to‘xtalib o‘tamiz.
SHuni ham aytish kerakki, o‘rta asr SHarq matematikasida simvolika bo‘lmagan va barcha qoida, teoremalar so‘z bilan yozilgan. SHuning uchun Beruniy asarlaridagi matematik masalalar ko‘rilayotganda ularni hozirgi zamon tiliga ko‘chirish kerak, ya’ni bizning zamonaviy matematik belgilarimiz bilan ifodalash lozim.
Avvalo Beruniy hal qilgan bir necha arifmetik masalalarni ko‘raylik.
Beruniy “Qadimgi xalqlardan qolgan yodgorliklar” asarida qadimgi hind afsonasi bilan bog‘liq bo‘lgan “shaxmat taxtasi” masalasini ko‘rib chiqib, “shaxmat taxtasi xonalariga ketma-ket: oldin 1 ta, keyin 2 ta, so‘ngra uning kvadrati, kubi darajasiga miqdorlar qo‘yib borilsa, geometrik progressiya hosil bo‘lishi haqida bayon etadi”. Bu erda ushbu
geometrik progressiyaning yig‘indisi topilishi kerak.
Beruniy echim 18446744073709551615ni keltiradi va echilishini tushuntiradi. U avval ikkita qoidani ta’riflaydi. Birinchisiga ko‘ra, agar shaxmat taxtasining biror katagidagi donlar sonini o‘ziga ko‘paytirsak, shunday katakdagi donlar soniga teng bo‘ladiki, bu katak avvalgi katakdan qancha uzoqlikda bo‘lsa, avvalgi katak birinchi katakdan shuncha uzoqlikda bo‘ladi. Boshqacha aytganda, nomerli katakka mos keluvchi son ni o‘ziga ko‘paytirsak nomerli katakka mos keluvchi son ni topamiz, bu holda munosabat bajariladi. Ushbu qoidani Beruniy misol bilan tushuntiradi: “Beshinchi xonadagi [adad] 16 ni o‘ziga ko‘paytirsak, 256 chiqadi, bu to‘qqizinchi xonadagi [adadga] barobar bo‘ladi. To‘qqizinchi xonaning beshinchidan uzoqligi birinchi xonaning beshinchidan uzoqligichadir”.
YA’ni agar beshinchi katakdagi sonni o‘ziga ko‘paytirsak, natijada to‘qqizinchi katakda bo‘ladi, bu holda 9-5=5-1.
SHu qoidaning o‘zini Beruniy boshqacha ta’riflaydi: bu erda u ketma-ket, “juft-juft”, ya’ni 2 ko‘rinishidagi, ko‘rilayotgan progressiyaning hadlaridan iborat sonlar haqidagi teoremadan foydalanadi. Bu progressiyaning ikkita chekkasidagi hadlarining ko‘paytmasi, agar ular orasidagi hadlar soni juft bo‘lsa, o‘rtasidagi ikkita hadining ko‘paytmasiga teng bo‘ladi va agar shu hadlar soni toq bo‘lsa, o‘rtadagi bitta hadning kvadratiga teng bo‘ladi. Misolda bu
yoki
ko‘rinishda bo‘ladi.
Ikkinchi qoida quyidagicha ta’riflanadi: “Agar biz xonalardan biridagi [adadni] olib, undan birni tushirsak, qolgani undan oldingi xonalardagi [adadlarning] jamiga teng bo‘ladi”. Boshqacha aytganda, ko‘rilayotgan geometrik progressiya hadlarining yig‘indisini topish qoidasi:
berilgan.
Misol tariqasida besh hadning yig‘indisi
topilgan.
SHu qoidani tatbiq qilib, Beruniy aytadiki, progressiyaning hamma oltmish to‘rt hadining yig‘indisini topish uchun 33 nomerli katakdagi sonni o‘ziga ko‘paytirish va birni ayirish kerak. Bu esa qidirilayotgan qiymat ekanligini bildiradi. Ketma-ket ko‘paytirib, Beruniy
qiymatlarni topadi.
SHunday qilib, .
O‘rta asarlarda SHarq va G‘arbda mashhur bo‘lgan arifmetik “uch miqdor qoidasi” va uni kengaytirish uchun Beruniy “Hind roshiklari haqida kitob” risolasini bag‘ishlagan.
“Uch miqdor qoidasi” yoki “uchlama qoida” shundan iboratki, agar uchta miqdor ma’lum bo‘lsa, munosabatdan ni topish kerak.
Hindlar “tray rashika”, ya’ni “uch o‘rniga ega” deb atalgan bu qoidadan qanday foydalanganliklarini izohlab beradi.
Masalan, proporsiyadan noma’lum ni topish uchun ikkita o‘zaro kesishuvchi chiziq o‘tkazib, hosil bo‘lgan “to‘rt o‘rin”da sonlarni ushbu
5 ko‘rinishda joylashtirganlar.
3
Beruniyning aytishicha, ular o‘n beshni bo‘sh o‘rni yoniga yozganlar va uni
o‘z qarshisidagiga, ya’ni uchga ko‘paytirganlar, qirq besh hosil bo‘ladi, uni beshga bo‘lganlar, bo‘linmada to‘qqiz hosil bo‘ladi; mana shu (son) bo‘sh o‘rinda turishi kerak bo‘lgan narsadir.
Uchlama qoidani ikki qayta qo‘llashni talab qiladilar. Masalalar “besh miqdor qoidasi” yordamida echiladi, bunda noma’lum , agar berilgan bo‘lsa,
yoki
munosabatdan topiladi.
Beruniy misol keltiradi: Agar 10 dirham ikki oyda 5 dirham foyda keltirsa, 8 dirham uch oyda qancha foyda ketiradi?
Berilgan miqdorlar ushbu
8
3
5
tartibda joylashtiriladi.
Noma’lumni topish uchun, Beruniy, beshni bo‘sh o‘ringa ko‘chiradi, uni uchga ko‘paytiradi, so‘ngra ko‘paytmani sakkizga ko‘paytiradi; 120 hosil bo‘ladi; bu eslab qolinadi. Keyin 2 ni 10 ga ko‘paytiriladi, yigirma hosil bo‘ladi. Eslab qolingan shunga bo‘linadi, 6 hosil bo‘ladi; mana shu sakkiz dirhamning uch oyda keltirgan foydasidir.
SHunday qilib,
Keyin Beruniy, shu sxema bo‘yicha etti va o‘n bir miqdor uchun hind qoidasi bo‘yicha masala echishni bayon qiladi. Masalan, etti miqdor qoidasi bo‘yicha quyidagi masala echiladi: faraz qilaylik, g‘ishtning uzunligi – 5 birlik, kengligi – 4 birlik va balandligi – 3 bo‘lsin; shunday g‘ishtlarning har 30 tasi uchun 60 dirham to‘lanadi. Uzunligi – 8, kengligi – 6, balandligi – 2 bo‘lgan 20 ta g‘isht qanday xarajatni talab qiladi? Echish uchun berilgan miqdorlar ushbu
8
6
2
2 0
60
tartibda joylashtiriladi. Xuddi yuqoridagidek,
bo‘ladi, bundan
.
Beruniy ta’kidlaydiki, hindlar faqat o‘n bir miqdor bilan chegaralanadilar. U deydi: Biz esa bu chegaradan o‘tamiz va hojatiga qarab, masalaning sharti va xususiyatiga ko‘ra xohlagancha sonlar miqdorini ko‘rish mumkin deb hisoblaymiz.
Beruniy hind qoidasini umumlashtirgan 15 va 17 miqdor uchun sonli misol keltiradi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
