Рақамли ахборотларни Фурье қаторига ёйиш алгоритми. Ишончлилигини баҳолаш

7-маъруза Рақамли ахборотларни Фурье қаторига ёйиш алгоритми. Ишончлилигини баҳолаш
Axborot texnologiyalarining jadal rivojlanishi ma'lumotlarni raqamli shaklda namoyish etishga asoslangan. Juda katta raqamli ma'lumotlar oqimi yuboruvchidan (telestudiyalar, sun'iy aloqa yo'ldoshlari, telefon abonentlari va boshqalar) kelib chiqadi va iste'molchi tomonidan qabul qilinadi. Shuning uchun, ushbu raqamli signallarni qabul qiladigan har bir qurilmada mavjud bo'lgan signal protsessorlari ushbu raqamli ma'lumotni kerakli asl shakliga aylantiradi: ovoz, tasvir va hk. Biz buni qanday sodir bo'lishini hatto sezmaymiz va o'ylamaymiz ham. Aslida bu, matematikaning asosiy nazariyaga asoslangan juda murakkab jarayon. Bu erda biz ushbu nazariyani ko'rib chiqishga va ushbu nazariyaning asoslari va imkoniyatlari bilan tanishishimiz mumkin.
Nazariyaning bu qismini tavsiya etilgan adabiyotlardan topish mumkin, shuning uchun bu qismiga to`xtalmoqchi emasmiz, to'g'ridan-to'g'ri jarayonning ish algoritmiga o'tamiz.
Ma'lumki, [0; T] oraliqdagi har qanday qismli uzluksiz chegaralangan davriy funktsiyani Fur`ye qatorida yoyish mumkin. Biz quyida faqat Fur`ye qatorining trigonometrik shakli bilan cheklanamiz, uning ko`rinishi:
(7.1)
Fazoda funktsiyaning skolyar ko`paytmasi va normasini formulalar bo'yicha kiritamiz
(7.2)
(7.3)
Bundan ko`rinadiki, (7.1) formuladagi funktsiyaning bazislari 1, ekanligini ko`rishimiz mumkin, bu esa ortogonal bazislar sistemasi funktsiyasini bildiradi. (7.1) formuladagi koeffitsentlarni yoyilmasini aniqlash uchun, (7.1) ni ikkala tomonini bazis funktsiyalariga skolyar ko`paytiramiz. Va quyidagi formulalarga ega bo`lamiz:
(7.4)
(7.5)
(7.6)
Fur`ye koeffitsentlarini (7.4)-(7.6) formulalar orqali hisoblab, (7.1) formulaga qo`yib, funktsiyni Fur`ye qatorini olamiz. Amaliy hisoblar uchun odatda Fur`ye qatorining oxirgi yig`indi qiymati, ya`ni (7.1) yig`indi qatorning boshlang`ich xadi olinadi. Yig`indilarning soni kerakli aniqlikda bo`lib, (7.1) qator tez yaqilashuvchi va uning yig`idisi esa juda tez kamayuvchi bo`ladi. Odatda ta qo`shiluvchi yetarli bo`ladi.
Yuqoridagi ko`rilgan usuldan raqamli ma`lumotlardagi topshiriqlarda ham foydalanish mumkin. Bu ma`lumotlarni bundan buyon signal deb nomlab, jadval ko`rinishida beramiz.

ti	0	t1	t2	…	tN
fi	f1	f2	f3	…	fN

Bu yerda t_i – vaqt bo'yicha oraliq nuqtalarni ifodalaydi (представляют отстоящие моменты времени) , i=0,1,…,n; f_i – signal kattaligi (kuchlanish, tok kuchi, impuls,…). Bunday xol uchun bu nazariyani qanday qo`llash mumkin degan savol tug`iladi? Agar jadval funktsiyasini bo`lakli doimiy funktsiya ko`rinishida belgilasak ( zinama zina funktsiya). (ступянгатую функцию)

(7.7)
Bu qiymatni (7.4)-(7.6) formulaga qo`yib hisoblash formulalarini olamiz:
(7.8)
koeffitsentlarni qiymatini topish uchun esa (7.5)-(7.6) qo`llab, (0;T) oraliqda integrallab, (7.7) formuladagi qiymatlar bo`yicha oraliqlarni bo`lishimiz mumkin. Hususiy xolda uchun quyidagini olamiz:
(7.9)
Agar (7.9) formulani integrallash usullarini qo`llab hisoblab chiqsak u xolda, quyidagi formulani olamiz:

(7.10)
Yana shu usulni qo`llab, koeffitsentni hisoblash formulasini topishimiz mumkin:

(7.11)
Integrallashni taqribiy hisoblash formulalarini qo`llasak bo`lmasmili degan savol tug`iladi. Masalan, to`g`ri to`rtburchaklar, trapetciyalar yoki Simpson usulinini? Test ma`lumotlari yuqordagi keltirilgan usullar, zamonaviy ma`lumotlarga tegishli bo`lgan, yuqori chastotali signallarni uzatishda, kutilmagan xatoliklarni keltirishini ko`rsatdi. Bu t_i vaqtning momenti, informatsiyaning qandaydir garmonik davri bilan mos kelishi bilan bog`liq bo`lashi mumkin.
Fur`e qatorida amaliy hisoblarda ushbu

formulada koeffitsentlarni qiymatlari hisoblangan (7.8), (7.10), (7.11) formulalardagi garmonik signallarni yoyilmasini ko`rsatadi. Qatorning xar bir yig`indisi aloxida garmonika chastotasi va amplitudasi ekanligini ko`rsatadi. Qo`shiluvchlarning kerakli sonini topish uchun, qiymatlarini baholash shunday son aniqligida topishimiz lozim. Amplitudalar ketma ketligi kamayuvchi ketma ketlik bo`lganligi uchun, hisobni tengsizlik qanoatlantirilguncha davom ettiramiz. Garmonika sonini aniqlaganimizdan so`ng, biz qabul qilingan signalning garmonikasini xar birini og`irligini (bo`lagini) topishimiz mumkin. Shunday qilib, signal yetakchi garmonikalari aniqlanadi, agar bor bo`lsa signal tarkibidagi shovqin ajratiladi. Buning hammasi aniq vaqt oralig`ida avtomatik ravishda signal protsessori orqali amalga oshiriladi.
Nazariy tadqiqotlarni amalga oshirish uchun (7.8), (7.10), (7.11) formulalardagi Fur`e koeffitsentlarini aniqlash dasturini tuzish kerak, buning asosida turli amaliy masalalarni hisoblash mumkin bo`ladi.