Mavzu: Turg’unlik tushunchasi

2-teorema (Stodoliy). Ushbu

ko‘phad turg‘un bo‘lishi uchun uning barcha koeffitsiyentlari musbat bo‘lishi zarur.
Isbot. Aytaylik berilgan ko‘phad turg‘un bo‘lsin. U holda bo‘lishini isbotlaymiz. Berilgan ko‘phadning koeffitsiyentlari haqiqiy bo‘lgani uchun uning ildizlari soni (karrali ildizlarning karrasi ham hisobga olinganda) n ta bo‘ladi. Shu bilan birga ko‘phadning ta ildizi kompleks bo‘lsa, unda uning yana ta ildizi mos ravishda qo‘shma kompleks bo‘ladi. Ularni deb belgilaymiz. Shuning uchun .
Endi ko‘phadni quyidagicha yozamiz:

Bunda . Demak, ko‘phad koeffitsiyentlari musbat bo‘lgan va ko‘rinishdagi ko‘phadlarning ko‘paytmasi shaklida yoziladi. Bunday ko‘phadlarni o‘zaro ko‘paytirib chiqsak, natijada koeffitsiyentlari musbat bo‘lgan ko‘phad hosil bo‘ladi.■
1-izoh. Teskari tasdiq o‘rinli emas, ya’ni barcha keffitsiyentlari musbat bo‘lgan ko‘phad turg‘un bo‘lavermaydi.
1-misol. Ushbu

uchinchi darajali ko‘phadni qaraylik. Ko‘rinib turibdiki bu ko‘phadning ildizlari quyidagi

sonlardan iborat. Bunda . Demak, berilgan ko‘phad noturg‘un ekan.
1-lemma. Ushbu

uchinchi darajali ko‘phad sof mavhum ildizga ega bo‘lishi uchun

munosabatning bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. Avvalo soni berilgan ko‘phadning ildizi bo‘la olmaydi. Chunki bo‘lsa, kelib chiqadi. Buning esa bo‘lishi mumkin emas. Aytaylik, soni ko‘phadning ildizi bo‘lsin. Bu holda uni

ko‘rinishda yozish mumkin. Bunda , . Ko‘rinib turibdiki, bu yerda ushbu

munosabat bajariladi.
Yetarliligi. Aytaylik, ushbu

tenglik o‘rinli bo‘lsin. U holda berilgan ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish mumkin bo‘ladi:
.
Endi ushbu , tenglamani qaraylik. Bundan

ildizlarni topamiz.■