Mavzu: Turg’unlik tushunchasi

1-misol. Ushbu

tenglama yechimini turg‘unlikka tekshiring.
Yechish. Berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi

ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda da quyidagi uchta hol bo‘lishi mumkin:

Ko‘rinib turibdiki, yechim holida Lyapunov ma’nosida turg‘un, bundan tashqari u asimptotik turg‘un ham bo‘ladi. Agar bo‘lsa, yechim Lyapunov ma’nosida turg‘un bo‘ladi. Ammo holida yechim noturg‘un bo‘ladi.
2-misol. Quyidagi
, (11)
o‘zgarmas koeffitsiyentli bir jinsli tenglama yechimini turg‘unlikka tekshiring.
Yechish. Aytaylik, ushbu
(12)
xarakteristik tenglamaning karrali har xil ildizlarini orqali belgilasak. U holda (11) differensial tenglamaning umumiy yechimi quyidagi


………….......;

funksiyalarning chiziqli kombinatsiyalaridan iborat bo‘ladi. Bundan ko‘rinib turibdiki, (11) tenglama yechimi asimptotik turg‘un bo‘lishi uchun

shartning bajarilishi zarur va yetarli. Agar (12) xarakteristik tenglamaning ildizlari orasida kamida bittasi, ya’ni

munosabatni qanoatlantirsa, u holda (11) differensial tenglamaning yechimi noturg‘un bo‘ladi.


2.4. KO‘PHADLARNI TURG‘UNLIKKA TEKSHIRISH
1-ta’rif. Agar haqiqiy koeffitsiyentli
(1)
ko‘phadning barcha ildizlari ushbu

tengsizlikni qanoatlantirsa, unga turg‘un ko`phad deyiladi.
Avvalo ushbu
(2)
birinchi darajali ko‘phadni ko‘rib chiqamiz. Bu holda tenglamaning ildizi

ko‘rinishda bo`ladi. Ko‘rinib turibdiki, bo‘lishi uchun bo`lishi zarur va yetarli. Chunki . Bundan kelib chiqadiki, birinchi darajali ko‘phad turg‘un bo‘lishi uchun, uning barcha koffisentlari musbat, ya`ni , bo`lishi zarur va yetarli.
Endi ikkinchi darajali
, (3)
ko‘phadni qaraylik. Bu holda tenglamaning ildizlari ushbu

formuladan topiladi. Bunda
1) agar bo`lsa, u holda
(4)
o‘rinli.
2) Agar bo‘lsa, u holda
(5)
o`rinli. Ushbu tengsizlik bajarilishi uchun quyidagi

munosabatning o‘rinli bo‘lishi lozim. Bu munosabatning birinchisidan, ya’ni ushbu
,
tengsizliklardan kelib chiqadi. Yuqoridagi munosabatning ikkinchisidan, ya’ni

tengsizlikdan , baholar, bulardan esa ekani kelib chiqadi.
Shunday qilib, ikkinchi darajali , ko‘phadning turg‘un bo‘lishi uchun uning barcha koeffitsiyentlarining musbat, ya’ni , , bo‘lishi zarur va yetarli, ekan.
1-teorema. Birinchi va ikkinchi darajali , ko‘phadlarning turg‘un bo‘lishi uchun, ularning barcha koeffitsiyentlarining musbat
, ,
bo‘lishi zarur va yetarli.