Mavzu: Turg’unlik tushunchasi

1-lemma. Agar matritsaning barcha xos qiymatlari

tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda shunday sonlari topilib,
(9)
baho o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, sonini shunday tanlaymizki, natijada ushbu tengsizlik bajarilsin. U holda
(10)
o‘rinli bo‘ladi. Ma’lumki, matritsaning har bir elementi uchun quyidagi

ko‘rinish o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda ko‘phad.
Endi (10) tengsizlikdan foydalanib

munosabatni olamiz. Bundan

kelib chiqadi. Bu esa o‘z navbatida
(11)
ekanligini bildiradi. Endi (8) formuladan foydalanib quyidagi
,
ya’ni

bahoni olamiz.■
1-teoremani isbotlashda davom etamiz. Yuqoridagi (5) bahoda

bo‘lgani uchun, ixtiyoriy soni uchun shunday soni topilib, bajarilganda

bo‘lishini inobatga olsak, (7) munosabatdan

baho kelib chiqadi. Bu yerda ushbu

belgilashdan foydalansak,

tengsizlik hosil bo‘ladi. funksiyaga Gronoulla lemmasini qo‘llasak,

baho kelib chiqadi. Bundan esa

kelib chiqadi. Bu bahodan foydalanib, yetarli kichik larda (masalan bo‘lganda)

munosabatni topamiz. Bu esa (1) sistema yechimining asimptotik turg‘un ekanligini ko‘rsatadi.■
2-teorema. Agar A matritsa tengsizlikni qanoatlantiruvchi kamida bitta xos qiymatga ega bo‘lsa, u holda (1) sistemaning yechimi turg‘un bo‘lmaydi (noturg‘un bo‘ladi).
1-misol. Ushbu

differensial tenglamalar sistemasining yechimini turg‘unlikka tekshiring.
Yechish. Quyidagi

munosabatlardan foydalanib,

chiziqli differensial tenglamalar sistemasini tuzib olamiz. Endi ushbu

matritsaning xos qiymatlarini aniqlaymiz:
.
Bu kvadrat tenglamani yechib, , xos qiymatlarni topamiz. Ko‘rinib turibdiki, . Shuning uchun 2-teoremaga ko‘ra berilgan nochiziqli differensial tenglamalar sistemasining yechimi turg‘un bo‘lmaydi (ya’ni noturg‘un bo‘ladi).