Mavzu: Turg’unlik tushunchasi

2-misol. Ushbu

nochiziqli differensial tenglamalar sistemasining yechimini turg‘unlikka tekshiring
Yechish. Berilgan nochiziqli sistemaga mos keluvchi quyidagi

chiziqli differensial tenglamalar sistemasini tuzib olamiz. Bunda
Quyidagi

matritsaning xos qiymatlarini aniqlaymiz:
,
.
Bu xos qiymatlarning barchasi uchun , tengsizlik bajariladi. Shuning uchun 1-teoremaga asosan berilgan nochiziqli differensial tenglamalar sistemasining yechimi asimptotik turg‘un bo‘ladi.

3. 
   -TARTIBLI CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMA YECHIMINI TURG‘UNLIKKA TEKSHIRISH
   

Quyidagi
(1)
(2)
Koshi masalasining yechimini qaraylik. Bu yerda
,
.
Ushbu
, (3)
(4)
Koshi masalasining yechimini orqali belgilaylik.
1-ta’rif. Agar , soni topilib, ushbu
(5)
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun (3)-(4) Koshi masalasining va yechimlari ushbu
(6)
bahoni qanoatlantirsa, (1)-(2) Koshi masalasining yechimiga Lyapunov ma’nosida turg‘un deyiladi.
1-lemma. (1) differensial tenglama yechimining turg‘unligi, ushbu
(7)
bir jinsli tenglama nol yechimining turg‘unligiga ekvivalent.
Isbot. Ushbu

belgilashni kiritaylik. Bunda quyidagi

(8)

Koshi masalasining yechimidan iborat, esa ushbu

(9)
Koshi masalasining yechimini ifodalaydi. Bu (8) va (9) munosabatlarni mos ravishda ayirib, quyidagi
(10)
bir jinsli tenglamaga qo‘yilgan Koshi masalasini hosil qilamiz.
Yuqoridagi yechim turg‘unligining ta’rifi yechimga nisbatan quyidagicha bayon qilinadi: , tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun (10) Koshi masalasining yechimi ushbu

bahoni qanoatlantiradi. Bu esa (7) bir jinsli tenglama yechimining turg‘unligini anglatadi.
1-natija. (1) ko‘rinishdagi bir jinsli bo‘lmagan -tartibli chiziqli differensial tenglama yechimini turg‘unligini o‘rganish o‘rniga (7) ko‘rinishdagi bir jinsli chiziqli differensial tenglamaning nol yechimini turg‘unligini o‘rganish yetarli.
2-ta’rif. Agar (1) differensial tenglamaning yechimi Lyapunov ma’nosida turg‘un bo‘lib,

munosabat bajarilsa, yechimga asimptotik turg‘un yechim deyiladi.
2-lemma. (1) differensial tenglama yechimining asimptotik turg‘un bo‘lishi (7) bir jinsli tenglama yechimining asimptotik turg‘un bo‘lishiga ekvivalent.
Isbot. Ushbu almashtirishdan foydalanib, (10) Koshi masalasini hosil qilamiz. U holda (1) differensial tenglama yechimning

asimptotik turg‘unligi holida quyidagi

ko‘rinishni oladi. Bu esa (7) bir jinsli tenglama yechimini asimptotik turg‘unligini bildiradi.