Mavzu: Turg’unlik tushunchasi

4-teorema (Raus-Gurvis belgisi). Haqiqiy koeffitsiyentli (13) ko‘phad turg‘un bo‘lishi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarli:
1. Barcha koeffitsiyentlari musbat: ;
2. Gurvis matritsasining barcha bosh minorlari musbat: .
5-teorema (Lenara-Shiparo belgisi). Haqiqiy koeffitsiyentli (13) ko‘phad turg‘un bo‘lishi uchun quyidagi shartlarning bajarishi zarur va yetarli:
1. ;
2. Gurvis matritsasining nomerlariga mos keluvchi bosh minorlari musbat.
Bu ikki belgining ekvivalent ekanligini uchinchi darajali ko‘phad misolida ko‘rishimiz mumkin.
Haqiqatan ham, ushbu

ko‘phad uchun Gurvis matritsasi

ko‘rinishni oladi. Bu matritsaning bosh minori quyidagi

determinantlardan iborat.
Berilgan uchinchi darajali ko‘phad turg‘un bo‘lishi uchun, Linara-Shipara belgisiga ko‘ra, ushbu

shartlarning bajarilishi yetarli.
Endi tengsizlikdan bo‘lishi kelib chiqishini ko‘rsatamiz. Buning uchun determinantning oxirgi satr elementlari bo‘yicha yoyamiz:
.
Agar bo‘lsa, u holda bu tenglikdan va zaruriy shartlar bajarilganda kelib chiqadi.
Raus-Gurvis belgisidan foydalanib, o‘zgarmas koeffitsiyentli chiziqli bir jinsli
(14)
differensial tenglamalar sistemasi nol yechimini asimptotik turg‘unlik shartini matritsaning elementlari orqali ifodalash mumkin. Agar matritsaning xarakteristik tenglamasini ushbu

ko‘rinishda yozib olsak. Bu yerda . U holda, xususan (14) sistemada bo‘lsa yechimning asimptotik turg‘un bo‘lishi uchun
(15)
shartlarning bajarilishi yetarli.
1-misol. Ushbu

differensial tenglamalar sistemasi yechimini asimptotik turg‘unlikka tekshiring.
Yechish.
,
,

Berilgan soni tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda

, chunki ,

va (15) shartlar bajariladi. Demak, berilgan sistemaning yechimi tengsizligini qanoatlantiruvchi barcha p larda asimptotik turg‘un bo‘ladi.