|
Misol:Maydonning vektor chiziqlarini toping:
Yechish:Vektor chiziqlarining differensial tenglamalari bunday ko’rinishga ega :
yoki
Bu sistemani integrallab , xosil qilamiz:
bundan:
bunda -ixtiyoriy doimiydir.
Koordinatalar boshidan chiqayotgan nurlar vektor chiziqlari bo’lishi ravshan.Bu chiziqlarning kononik tenglamalari bunday ko’rinishga ega:
5.Sirt orqali o’tadigan vektor maydon oqimi.Uning tezliklar maydonidagi fizik ma’nosi.
Faraz qilayik, fazoning sohasida
vektor maydon berilgan bo’lsin,bunda , , shu sohada uzluksiz bo’lgan funksiyalar.
Bu sohada orientirlangan sirtni olamiz,uning har bir nuqtasida normalning musbat yo’nalishi
Birlik vektor orqali aniqlansin, bunda -normal ning koordinatalar o’qlari bilan tashkil qilgan burchaklari.
Ta’rif: vektorning sirt orqali o’tuvchi oqimi deb quyidagi ikkinchi tur sirt integraliga aytiladi:
(5.1)
(*)
(*) munosabatni hisobga olib (5.1) formulani
ko’rinishdayanadasoddaroq
(5.2)
ko’rinishdayozishmumkin, chunki
Bu yerda ifoda sirt yuzining elementi.(5.2) formula vektorning oqimini vektor yozuvida ifodalaydi.
Vektor maydon oqimining fizik ma’nosini aniqlaymiz.Faraz qilaylik , vektor oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydonini sirt orqali aniqlansin.Bu tezlik vektori har bir nuqtada suyuqlik zarrachasi intilayotgan yo’nalish, vektor chiziqlari esa suyuqlikning oqim chiziqlari bo’ladi(9-shakl).
(9-10-shakl)
sirt orqali vaqt birligi ichida oqib o’tadigan suyuqlik miqdorini hisoblaymiz.Buning uchun sirtda nuqtani va sirtning elementini qayd qilamiz.
Vaqt birligida bu element orqali oqib o’tgan suyuqlik miqdori asosi va yasovchisi bo’lgan silindrning hajmi bilan aniqlanadi.Bu silindrning hajmi bilan aniqlanadi.Bu silindrning balandligi uning yasovchisini normal birlik vektoriga proeksiyalash yo’li bilan hosil qilinadi.Shuning uchun silindrning hajmi
kattalikka teng bo’ladi.Vaqt birligi ichida butun sirt bo’yicha oqib o’tgan suyuqlikning to’liq hajmi yoki suyuqlik miqdori bo’yicha integrallash natijasida hosil bo’ladi:
Bu natijani (5.2) formula bilan taqqoslab, bunday xulosa chiqaramiz: sirt orqali o’tayotgan tezlik vektori oqimi shu sirt orqali vaqt birligi ichida sirt orientatsiyalangan yo’nalishda oqib o’tgan suyuqlik miqdoridir.Vektorlar oqimining fizik ma’nosi ana shundan iborat. sirt fazoning biror sohasini chegaralovchi yopiq sirt bo’lgan hol ayniqsa katta qiziqish uyg’otadi.Bu holda normal vektorini doim fazoning tashqi qismiga yo’naltirishga shartlashib olamiz(10-shakl).Normal tomoniga qarab xarakat sirtning tegishli joyida suyuqlik sohadan oqib chiqishini anglatadi, normalning qarama-qarshi tomoniga qarab harakat esa suyuqlik sirtning tegishli joyida shu sohaga oqib kirishini anglatadi. yopiq sirt bo’yicha olingan integralning o’zi esa
ko’rinishda belgilanadi va sirtdan oqib chiqayotgan suyuqlik bilan unga oqib kirayotgan suyuqlik orasidagi farqni beradi.Bunda, agar bo’lsa , sohaga undan qancha suyuqlik oqib chiqib ketsa, shuncha suyuqlik oqib kiradi.
Agar bo’lsa , u holda sohadan unga oqib kiradigan suyuqlikdan ko’proq suv oqib chiqadi.
Agar bo’lsa , bu hol qurdum(stok)lar borligini ko’rsatadi, ya’ni suyuqlik oqimidan uzoqlashadigan joylar borligini ko’rsatadi(masalan,bug’lanadi).Shunday qilib, integral manbalarning va qurdumlarning umumiy quvvatini beradi.
Vektorlarni hisoblash
Parametrik tenglamalar bizga yuza va sirtlarni ajoyib va go`zal ko`rinishda chizishga imkon beradi.
Bu bo`limda biz vektorlar ustida amallarni bajarishni o`rganamiz.(Bu funksiyalar vektorlarni fazoda aniqlab beradi).
Aniqlik kiritib aytganda, chiziqli integrallar(kuchlanish maydoni harakatlangandagi obyektlarning bajargan ishini aniqlashda).
Keyinchalik biz tekislikdagi integrallarni aniqlaymiz(tekislikdagi suv oqimining ko`rsatkichini aniqlashda) . Bu yangi turdagi integrallar va bizga tanish bo`lgan birlamchi,ikkilamchi va uchlamchi integrallar o`rtasidagi bog`liqlik yuqori o`lchovli fundamental hisoblash teoremalarida keltirilgan: Gren teoremasi, Stok teoremasi va Divergens teoremasi kabilarda.
Birinchi tasvirdagi vektorlar San Fransisko qo`ltig`idan 10 metr yuqorida bo`lgan yo`nalishdagi shamol tezligi aniqlashda foydalanilgan. (shamolning ko`rsatkichlari ketma-ket kelgan kunlarda turlicha ekanligiga ahamiyat bering). Har bir nuqtadan kelib chiqqan holda biz shamol tezligidagi vektorni tassavur qiliwshimiz mumkin.Bu vector tezligi maydoniga misol bo`la oladi.
12.00 20.Fevral 2007 02.00 21.Fevral 2007
Tasvir 1. San Fransiskodagi Vektor tezlik maydoni tasviri.
Vektor tezligi maydoni to`g`risidagi bowqa misollar 2- tasvir da keltirilgan: okean oqimi va kuchli aerodinamik oqimdan so`ng olingan tasvir.
a) Nova Skotiya qirg`oqlaridagi okean oqimi b) Aerodinamik oqim
Tasvir 2. Vector tezligi maydoni
Boshqa turdagi vector maydoni, kuchlanish maydoni deb ataladi, maydondagi har kuchlanish vektori bilan bog`liqdir.Bunga misol tariqasida 4-tasvirdagi gravitatsion kuchlanish maydonini keltirisk mumkin.
U muman olganda, Vektor maydoni bu yoki va qiymatlari va bo1lgan vektorlardan tashkil topgandir.
Ta`rif 1. D nuqta da olingan bo`lsin. dagi vector maydon
F funksiyadir va u D ni har (x,y) nuqtada ikki o`lchamli vector F(x,y) da aniqlaydi.
Vektor maydonini chizishning eng yaxshi yo`li (x,y)nuqtadan boshlanuvchi F(x,y) vektorini tasvirlovchi burchak ko`rinishidagi tekisligda chizishdir. Albatta buni barcha (x,y) lar uchun qo`llay bo`lmaydi ., ammo biz buni F uchun D dagi bir necha nuqtalarni ko`rsatkan holda bajarishimiz mumkin. (3.Tasvir). F(x,y) iki o`lchamli vector bo`lganligi sababli biz buni ikki ya`ni P va Q ko`rinishidagi murakkab funksiyalarda ifodalaymiz:
F(x,y)= P(x,y) i + Q(x,y)j= (P(x,y), Q(x,y))
Yoki qisqa qilib aytganda,
Do'stlaringiz bilan baham: |
