Mavzu: Skalyar va vektor maydonlar. Gradiyent va yo’nalish bo’yicha hosila. Yuksaklik (sath)chiziqlari va sirtlari. Reja: Skalyar maydon

4.Vektor maydoni
Ko’pgina masalalarni yechishda skalyar kattaliklardan tashqari vector kattaliklarga ham murojaat qilishga to’g’ri keladi. Agar skalyar kattalik o’zining son qiymati bilan to’la ifodalansa, vector kattalik uchun bu yetarli bo’lmaydi.Uni ifodalash uchun yana bu kattalikning yo’nalishini ham (masalan tezlik,kuch)bilish zarur.Skalyar maydon tushunchasiga o’xshash vektor maydon tushunchasi ham kiritiladi.
Ta’rif: Har bir nuqtasiga biror vektor mos qo’yilgan fazaning biror qismi (yoki butun fazo)vektor maydon deyiladi.
Kuch maydoni (og’irlik kuchi maydoni) , elektr maydoni , elektromagnit maydon oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydoni vektor maydonga misol bo’la oladi.Biz vektor faqat nuqtaning vaziyatiga bog’liq bo’ladigan va vaqtga bog’liq bo’lmaydigan statsionaar maydonlarni qarab chiqamiz.
Agar fazoda koordinatalar sistemasi kiritilsa,u holda har bir nuqta ma’lum koordinatalarga ega bo’ladi va vektor bu koordinatalarning funksiyasi bo’ladi,ya’ni nuqta vektorning koordinatalar o’qidagi proeksiyalarini bilan belgilaymiz.Ular ham koordinatalarning funksiyalari hisoblanadi, ya’ni ,

shunday qilib bunday yozish mumkin:

Agar - o’zgarmas kattaliklar bo’lsa u holda vektor o’zgarmas bo’ladi,bundaay vektor maydon bir jinsli deyiladi,masalan, o’g’irlik kuchi maydoni bir jinslidir.
Agar maydon tekislikda berilgan bo’lsa , ya’ni, proeksiyalaridan biri nolga teng bo’lib, qolgan proeksiyalari esa tegishli koordinataga bog’liq bo’lmasa u holda tekis (yassi) maydonni hosil qilamiz,masalan,

Vektor chiziqlar.Vektor naychalari.
Ta’rif: vektor maydonning vektor chizig’i deb shunday chiziqqa aytiladiki, uning har bir nuqtasida urinmaning yo’nalishi shu nuqtaga mos kelgan vektorning yo’nalishi bilan bir xil bo’ladi.
Ani maydonlarda vektor chiziqlar ma’lum fizik ma’nolarga ega bo’ladi.Agar oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydoni bo’lsa , u holda vektor chiziqlar suyuqlikning owish chiziqlari bo’ladi , ya’ni , suyuqlikning zarrachalari harakatlanayotgan chiziqlar bo’ladi.
Agar elektr maydon bo’lsa, u holda vektor chiziqlar bu maydonning kuch chiziqlari bo’ladi(8-shakl).
(8-shakl)
sirt bo’lagining nuqtalari orqali o’tuvchi hamma vektor chiziqlar to’plami vektor naychalari deyiladi.
Vektor chiziqlar tenglamasini keltirib chiqaramiz.
Faraz qilaylik vektor maydon

funksiya bilan aniqlangan bo’lsin.Bunda lar koordinatalarining funksiyalari.Agar vektor chiziq ushbu

Parametrik tenglamaga ega bo’lsa , u holda bu chiziqqa o’tkazilgan urinmaning yo’naltiruvchi vektori proeksiyalari hosilalarga yoki differensiallarga proporsional bo’ladi.
vektorning va vektor chiziqqa urinma qilib yo’naltirilgan vektorning kollinearlik shartini yozib,quyidagini hosil qilamiz:
(4.1)
(4.1 tenglamalar sistemasi maydonning vektor chiziqlari oilasi differensial tenglamalari sistemasini ifodalaydi.
Shunday qilib maydonning vektor chiziqlarini topish haqidagi masala (4.1) sistemadagi integral egri chiziqlarni topishga teng kuchli.
(4.1) tenglamalar maydonning vektor chiziqlari differensial tenglamalari deyiladi.