Mavzu: Karrali integrallar

3-teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo’lsin. Agar o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo’lsa, u holda ushbu

integral ham mavjud va

bo’ladi.
Bu teoremaning isboti yuqoridagi teoremaning isboti kabidir. 2-teorema va 3-teoremalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
1-natija. funksiya sohada berilgan va integral­la­nuvchi bo’lsin. Agar o’zgaruvchining har bir tayin qiy­matida integral mavjud bo’lsa, o’zgaruv­chi­ning har bir tayin qiymatida integral mavjud bo’lsa, u holda ushbu
, (*)
integrallar ham mavjud va

bo’ladi.
2-natija. Agar funksiya sohada berilgan va uzluksiz bo’lsa, u holda

integrallarning har biri mavjud va ular bir-biriga teng bo’ladi.
(*) integrallar, tuzilishiga ko’ra, ikki argumentli funksiyadan avval bir argumenti bo’yicha (ikkinchi argumentini o’zgarmas hisoblab turib), so’ng ikkinchi argumenti bo’yicha olingan integrallardir. Bunday integrallarni takroriy integrallar deb atash (takroriy limitlar singari) tabiiydir.
Shunday qilib, qaralayotgan holda karrali integrallarni hisoblash takroriy integrallarni hisoblashga keltirilar ekan. Takroriy integralni hisoblash esa ikkita oddiy (bir argumentli funksiyaning integralini) Riman integralini ketma-ket hisoblash demakdir.
1-eslatma. Yuqorida keltirilgan 2-teoremani isbotlash jarayonida ko’rdikki, to’g’ri turtburchak soha, tomonlari mos ravishda , bo’lgan to’g’ri to’rtburchak sohalar larga ajratildi. Ravshanki, bu elementar sohaning yuzi bo’ladi.
Avval aytganimizdek, ni ga, ni ga almashtirish mumkinligini hamda , ekanini e’tiborga olib, bundan buyon integralni ushbu

ko’rinishda yozish o’rniga
(yoki )
kabi ham yozib ketaveramiz.