Mavzu: Karrali integrallar

2-misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda .
Integral ostidagi

funksiya sohada uzluksiz. Unda qaralayotgan ikki karrali integral ham,

integral ham mavjud. 3-teoremaga ko’ra

integral mavjud bo’ladi va

bo’ladi.
Agar

bo’lishini hisobga olsak, unda

ekanini topamiz. Demak, .
Endi soha ushbu ko’­ri­­­nishda bo’lsin. Bunda va da berilgan va uzluksiz funksiyalar (1-chizma)

1-chizma
4-teorema. funksiya sohada berilgan va integral­la­nuvchi bo’lsin. Agar o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo’lsa, u holda ushbu

integral ham mavjud va

bo’ladi.
 va funksiyalar da uzluksiz. Veyershtrass teore­masiga ko’ra bu funksiyalar da o’zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Ularni
,
deb belgilaylik.
Endi

sohada ushbu

funksiyani qaraylik.
Ravshanki, teorema shartlarida bu funksiya sohada integrallanuvchi va integral xossasiga ko’ra
(7)
bo’ladi. Shuningdek, o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud va
(8)
bo’ladi. Unda 2-teoremaga ko’ra

integral ham mavjud va

bo’ladi.
(7) va (8) munosabatdan

bo’lishi kelib chiqadi.
Endi soha ushbu

ko’rinishda bo’lsin. Bunda va da berilgan uzluksiz funksiyalar (2-chizma (a),(b)).
(a) (b)

2-chizma
5-teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo’lsin. Agar o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo’lsa, u holda

integral ham mavjud va

bo’ladi.
Bu teoremaning isboti 4-teoremaning isboti kabidir.
Faraz qilaylik, soha yuqorida qaralgan soha­lar­ning har birining xususiyatiga ega bo’lsin (2-chizma (b)).
3-natija. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo’lsin. Agar o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo’lsa, o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo’lsa, u holda
,
integrallar ham mavjud va

bo’ladi.
Bu natijaning isboti 4-teorema va 5-teoremadan kelib chiqadi.
Agar soha (3-chizma)

3-chizmada
tasvirlangan soha bo’lsa, u holda bu soha yuqorida o’rganilgan sohalar ko’rinishiga keladigan qilib bo’laklarga ajratiladi. Natijada soha bo’yicha ikki karrali integral ajratilgan sohalar bo’yicha ikki karrali integrallar yig’indisiga teng bo’ladi. Shunday qilib, biz integrallash sohasi ning etarli keng sinfi uchun karrali integrallarni takroriy integrallarga keltirib hisoblash mumkinligini ko’ramiz.
3-misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda .
Bu holda 3-teoremaning barcha shartlari bajariladi. Usha teo­remaga ko’ra

bo’ladi. Keyingi tenglikning o’ng tomonidagi integrallarni hisob­lab quyidagilarni topamiz:
,

Demak,
.