Mavzu: Karrali integrallar

1-misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda .
Ravshanki, funksiya da uzluksiz. Demak, bu funksiya sohada integrallanuvchi.
sohani


bo’laklarga ajratib, har bir da deb qaraymiz.
U holda


bo’ladi. Bundan esa

bo’lishi kelib chiqadi. Demak,
.
Umuman, ko’p hollarda funksiyalarning karrali integrallarini ta’rifga ko’ra hisoblash qiyin bo’ladi. Shuning uchun karrali integrallarni hisoblashning amaliy jihatdan qulay bo’lgan yo’llarini topish zaruriyati tug’ildi.
Yuqorida aytib o’tganimizdek, funksiyaning karrali integrali va uni hisoblash sohaga bog’liq.
Avvalo sodda holda, soha to’g’ri to’rtburchak sohadan iborat bo’lgan holda funksiyaning karrali integralini hisoblaymiz.
2-teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo’lsin.
Agar o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo’lsa, u holda ushbu

integral ham mavjud va

bo’ladi.
 sohani


bo’laklarga ajratamiz. Bu bo’laklashni deb belgilaymiz. Uning diametri
.
Modomiki, funksiya sohada integrallanuvchi ekan, u shu sohada chegaralangan bo’ladi. Binobarin, funksiya har bir da chegaralangan va demak, u shu sohada aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralariga ega bo’ladi:
,
,
.
Ravshanki, uchun xususan, uchun ham bo’ladi. Teoremaning shartidan foydalanib quyidagini topamiz:
,
ya’ni
.
Agar keyingi tengsizliklarni ning qiymatlarida yozib, ularni hadlab qo’shsak, u holda
,
ya’ni

bo’ladi.
Endi keyingi tengsizliklarni ga ko’paytirib, so’ng hadlab qo’shamiz. Natijada

bo’ladi.
Ravshanki,

funksiya uchun Darbuning quyi yig’indisi,

esa Darbuning yuqori yig’indisidir. Demak,
. (6)
Shartga ko’ra funksiya da integrallanuvchi. U holda da
,
bo’ladi.
(6) munosabatda esa,

yig’indi limitga ega hamda bu limit

ga teng bo’lishi kelib chiqadi:
.
Agar

va

ekanligini e’tiborga olsak, unda

bo’lishini topamiz.