Mavzu: Karrali integrallar

1-eslatma. Agar funksiya sohada chegaralanmagan bo’lsa, u shu sohada integrallanmaydi.
2⁰. Darbu yig’indilari. funksiya sohada berilgan bo’lib, u shu sohada chegaralangan bo’lsin. Demak, shunday o’zgarmas va sonlar mavjudki, da

bo’ladi.
sohaning biror bo’laklashni olaylik. Bu bo’laklashning har bir bo’lagida funksiya chegaralangan bo’lib, uning aniq chegaralari
,
mavjud bo’ladi. Ravshanki, uchun
(2)
tengsizliklar o’rinli.
5-ta’rif. Ushbu
,
yig’indilar mos ravishda Darbuning quyi hamda yuqori yig’indilari deb ataladi.
Bu ta’rifdan, Darbu yig’indilarining funksiyaga hamda sohaning bo’laklashiga bog’liq ekanligi ko’rinadi:
, .
Shuningdek, har doim

bo’ladi.
Yuqoridagi (2) tengsizlikdan foydalanib quyidagini topamiz:
.
Demak,
.
Shunday qilib, funksiyaning integral yig’indisi har doim uning Darbu yig’indilari orasida bo’lar ekan.
Aniq chegaraning xossasiga ko’ra
,
bo’ladi. Natijada ushbu ; ,

tengsizliklarga kelamiz. Demak, uchun
(3)
bo’ladi. Bu esa Darbu yig’indilarining chegaralanganligini bildiradi.
2. Ikki karrali integralning mavjudligi
funksiyaning soha bo’yicha ikki karrali integ­rali mavjudligi masalasini qaraymiz. Buning uchun avvalo sohaning hamda Darbu yig’indilarining xossalarini kelti­ra­miz.
sohaning bo’laklashlari xossalari o’rga­nil­gan segmentning bo’laklashlari xossalari kabidir. Ularni isbotlash deyarli bir xil mulohaza asosida olib borilishini e’tiborga olib, quyidagi u xossalarni isbotsiz keltirishni lozim topdik.
funksiyaning Darbu yig’indilari xossalari haqidagi vaziyat ham xuddi shundaydir.
Faraz qilaylik,  soha bo’laklashlari to’plami bo’lib, , bo’lsin:

.
Agar bo’laklashdagi har bir bo’laklashdagi biror ning qismi bo’lsa, bo’laklash ni ergashtiradi deyiladi va kabi yoziladi. Ravshanki, bo’lsa,

bo’ladi.