3-ma`ruza. Parametrga bog`liq integrallarni parametr bo`yicha differentsiallash va integrallash

3-ma`ruza. Parametrga bog`liq integrallarni parametr bo`yicha differentsiallash va integrallash
1-teorema. funktsiya
to`plamda berilgan va ning oraliqdan olingan ha`r bir tayin qiymatida ning funktsiyasi sifatida oraliqda uzluksiz bo`lsin. Agar funktsiya to`plamda xususiy hosilaga ega va u uzluksiz bo`lsa, unda funktsiya ham oraliqda hosilaga ega va
(1)
munasabat o`rinli bo`ladi.
Isboti. Shart bo`yicha funktsiya o`zgaruvchisi bo`yicha oraliqda uzluksiz. Unda

integral mavjud bo`ladi.
Endi nuqtani olib, unga shunday yoki orttirma beramiz, bo`lsin. funktsiyaning nuqtadagi orttirmasini topamiz va quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

Lagranj teoremasini tatbiq qilsak

bo`ladi, bu erda .
Natijada,

bo`lib, bunnan
(2)
ekanligini topamiz, bu erda - funktsiyaning uzluksizlik moduli.
funktsiya to`plamda uzluksiz ekan, unda ol Kantor teoremasiga ko`ra shu to`plamda tekis uzluksiz bo`ladi. Unda

bo`ladi.
(2) munasabatdan

bo`lishi kelib chiqadi. Demak,

qaralayotgan nuqta oraliqning ixtiyoriy nuqtasi ekanligini e`tiborga olsak, unda keyingi tenglik teoremaning isbotlanganini ko`rsatadi.
(1) munasabatni quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:

Isbotlangan bu teorema Leybnits qoidasi deyiladi.
Agar funktsiya to`plamda uzluksiz bo`lsa, unda parametrga bog`liq integralni parametr bo`yicha oraliqda integrallash mumkin:

Bu tenglikning o`ng tomonidagi funktsiya avval o`zgaruvchisi bo`yicha oraliqda integrallanib, so`ngra natija oraliqda integrallanadi.
Misol. funktsiyaning hosilasini toping, bu yerda funktsiya to`plamda berilgan.
Yechish. Quyidagi funktsiya to`plamda uzluksiz va shu to`plamda uzluksiz hosilaga ega. U holda
1-teoremaga ko`ra funktsiya hosilaga ega bo`lib,

bo`ladi. Ayrim hollarda funktsiya to`plamda uzluksiz bo`lgan holda bu funktsiyni avval o`zgaruvchisi bo`yicha oraliqda integrallab, so`ng hosil bo`lgan natijani oraliqda integrallash qo`lay bo`ladi. Natijada
,
integrallar hosil bo`ladi. Bu integrallar bir-biriga teng bo`ladimi degan savol paydo bo`ladi. Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.
2-teorema. Agar funktsiya
to`plamda uzluksiz bo`lsa, unda
=
bo`ladi.
Isboti. nuqtani olib, quyidagi

integrallarni qaraymiz. Bu funktsiyalarning hosilalarini hisoblaymiz.
funktsiya oraliqda uzluksiz funktsiya bo`lgani uchun, bo`ladi. funktsiya to`plamda uzluksiz, unda

bo`ladi. Demak, funktsiyaning to`plamdagi bo`yicha xususiy hosilasi ga teng va demak uzluksiz. Unda 5-teoremaga ko`ra
bo`ladi. Bu munasabatlardan bo`lishi kelib chiqadi. Demak, . Аmmo bo`lganda bo`lib, bunnan bo`ladi. Demak, bo`ladi. Xususiy holda bo`lganda bo`lib, u teoremani isbotlaydi.
Topshiriqlar

1. 
   Leybnits qoidasi
   
2. 
   Parametrga bog`liq integrallarni parametr bo`yicha integrallash.
   
3. 
   funktsiyaning hosilasini toping.