Mavzu: Karrali integrallar va ularning tatbiqlari

2. Ikki karrali integralning mavjudligi
funksiyaning soha bo’yicha ikki karrali integ­rali mavjudligi masalasini qaraymiz. Buning uchun avvalo sohaning hamda Darbu yig’indilarining xossalarini kelti­ra­miz.
sohaning bo’laklashlari xossalari o’rga­nil­gan segmentning bo’laklashlari xossalari kabidir. Ularni isbotlash deyarli bir xil mulohaza asosida olib borilishini e’tiborga olib, quyidagi u xossalarni isbotsiz keltirishni lozim topdik.
funksiyaning Darbu yig’indilari xossalari haqidagi vaziyat ham xuddi shundaydir.
Faraz qilaylik,  soha bo’laklashlari to’plami bo’lib, , bo’lsin:

.
Agar bo’laklashdagi har bir bo’laklashdagi biror ning qismi bo’lsa, bo’laklash ni ergashtiradi deyiladi va kabi yoziladi. Ravshanki, bo’lsa,

bo’ladi.
1⁰. Darbu yig’indilarining xossalari. funksiya sohada berilgan va chegaralangan bo’lsin. sohaning bo’laklashini olib, bu bo’laklashga nisbatan funksiyaning integral va Darbu yig’indilarini tuzamiz:
,
,
.
1) olinganda ham nuqtalarni shunday tanlab olish mumkinki,
,
shuningdek, nuqtalarini yana shunday tanlab olish mumkinki,

bo’ladi.
Bu xossa Darbu yig’indilari , lar uchun integral yig’indi muayyan bo’laklash uchun mos ravishda aniq quyi hamda aniq yuqori chegara bo’lishini bildiradi.
2) Agar va lar sohaning ikki bo’laklashlari bo’lib, bo’lsa, u holda
,
bo’ladi.
Bu xossa sohaning bo’laklashdagi bo’laklar soni orta borganda ularga mos Darbuning quyi yig’indisining kamaymasligi, yuqori yig’indisining esa oshmasligini bildiradi.
3) Agar va lar sohaning ixtiyoriy ikki bo’laklashlari bo’lib, , va , lar funksiyaning shu bo’laklashlarga nisbatan Darbu yig’indilari bo’lsa, u holda
,
bo’ladi.
Bu xossa, sohaning bo’laklashlariga nisbatan tuzilgan quyi yig’indilar to’plami ning har bir elementi (yuqori yig’indilar to’plami ning har bir elementi) yuqori yig’indilari to’plami ning istalgan elementidan (quyi yig’indilar to’plami ning istalgan elementidan) katta (kichik) emasligini bildiradi.
4) Agar funksiya sohada berilgan va chegaralangan bo’lsa, u holda

bo’ladi.
Bu xossa funksiyaning quyi ikki karrali integrali, uning yuqori ikki karrali integralidan katta emasligini bildiradi:

5) Agar funksiya sohada berilgan va chegaralangan bo’lsa, u holda olinganda ham, shunday topiladiki, sohaning diametri bo’lgan barcha bo’laklashlari uchun
(4)
bo’ladi.
Bu xossa funksiyaning yuqori hamda quyi integrallari da mos ravishda Darbuning yuqori hamda quyi yig’indilarining limiti ekanligini bildiradi:
,