Mavzu: Karrali integrallar va ularning tatbiqlari

4. Ikki karrali integrallarning ba’zi bir tatbiqlari
Ushbu paragrafda ikki karrali integrallarning ba’zi bir tatbiqlarini keltiramiz.
1⁰. Jismning hajmini hisoblash. fazoda jism yuqoridan sirt bilan, (bunda funksiya da uzluksiz) yon tomonlaridan yasovchilari o’qiga parallel bo’lgan silindrik sirt hamda pastdan tekislikdagi soha bilan chegaralangan jism bo’lsin.
yopiq sohaning bo’laklashni olamiz. funksiya da uzluksiz bo’lganligi sabali, bu funksiya bo’laklash har bir bo’lagida ham uzluksiz bo’lib, unda , larga ega bo’ladi.
Quyidagi
,

yig’indilarni tuzamiz. Bu yig’indilarning birinchisi jism ichiga joylashgan ko’pyoqning hajmini, ikkinchisi esa jismni o’z ichiga olgan ko’pyoqning hajmini ifodalaydi.
Ravshanki, bu ko’pyoqlar, demak, ularning hajmlari ham funksiyaga hamda sohaning bo’laklashga bog’liq bo’ladi:
, .
sohaning turli bo’laklashlari olinsa, ularga nisbatan jism­ning ichiga joylashgan hamda jismni o’z ichiga olgan tur­li ko’pyoqlar yasaladi. Natijada bu ko’pyoqlar xajmlaridan ibo­rat quyidagi
,
to’plamlar hosil bo’ladi. Bunda to’plam yuqoridan to’p­­lam esa quyidani chegaralangan bo’ladi. Demak, bu to’p­lam­lar­ning aniq chegaralari
,
mavjud. Shartga ko’ra funksiya yopiq sohada uzluksiz. U holda Kantor teoremasining natijasiga asosan, son olin­ganda ham, songa ko’ra shunday son topiladiki, soha­ning diametri bo’lgan har qanday bo’laklashi uchun har bir da funksiyaning tebranishi

bo’ladi. Unda

Demak, soha­ning diametri bo’lgan har qanday bo’laklanishi olinganda ham bu bo’laklanishga mos jismning ichiga joylashgan hamda bu ni o’z ichiga olgan ko’pyoq hajmlari uchun har doim

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan esa
(9)
tenglik kelib chiqadi. Bu tenglik jism hajmga ega bo’lishini bildiradi.
Endi yuqorida o’rganilgan , yig’indilarni Darbu yig’indilari bilan taqqoslab, ham yig’indilar funksiyaning sohada mos ravishda Darbu quyi hamda yuqori yig’indilari ekanini topamiz. Shuning uchun ushbu
,
miqdorlar funksiyaning quyi hamda yuqori ikki karrali integ­rallari bo’ladi, ya’ni
,
Yuqoridagi (9) munosabatga ko’ra

tenglik o’rinli ekani ko’rinadi. Demak,
.
Shunday qilib, bir tomondan, qaralayotgan jism hajmga ega ekani ikkinchi tomondan, uning hajmi funksiyaning soha bo’yicha ikki karrali integraliga teng ekani isbot etildi. Demak, jismning hajmi uchun ushbu
(10)
formula o’rinli.
5-misol. Ushbu

ellipsoidning hajmi topilsin.
Bu ellipsoid tekislikka nisbatan simmetrikdir. Yuqori qismini o’rab turgan sirt

bo’ladi.
Yuqoridagi (10) formulaga ko’ra ellipsoidning hajmi :

bo’ladi, bunda
.
Integralda
(11)
almashtirishni bajaramiz. Bu sistemaning yakobiani

bo’ladi. (11) sistema sohani sohaga akslantiradi. formulaga ko’ra

bo’ladi. Demak,

Shunday qilib, ellipsoidning hajmi

bo’ladi.