Mavzu: Karrali integrallar va ularning tatbiqlari

2-natija. Agar funksiya sohada berilgan va uzluksiz bo’lsa, u holda

integrallarning har biri mavjud va ular bir-biriga teng bo’ladi.
(*) integrallar, tuzilishiga ko’ra, ikki argumentli funksiyadan avval bir argumenti bo’yicha (ikkinchi argumentini o’zgarmas hisoblab turib), so’ng ikkinchi argumenti bo’yicha olingan integrallardir. Bunday integrallarni takroriy integrallar deb atash (takroriy limitlar singari) tabiiydir.
Shunday qilib, qaralayotgan holda karrali integrallarni hisoblash takroriy integrallarni hisoblashga keltirilar ekan. Takroriy integralni hisoblash esa ikkita oddiy (bir argumentli funksiyaning integralini) Riman integralini ketma-ket hisoblash demakdir.
1-eslatma. Yuqorida keltirilgan 2-teoremani isbotlash jarayonida ko’rdikki, to’g’ri turtburchak soha, tomonlari mos ravishda , bo’lgan to’g’ri to’rtburchak sohalar larga ajratildi. Ravshanki, bu elementar sohaning yuzi bo’ladi.
Avval aytganimizdek, ni ga, ni ga almashtirish mumkinligini hamda , ekanini e’tiborga olib, bundan buyon integralni ushbu

ko’rinishda yozish o’rniga
(yoki )
kabi ham yozib ketaveramiz.
2-misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda .
Integral ostidagi

funksiya sohada uzluksiz. Unda qaralayotgan ikki karrali integral ham,

integral ham mavjud. 3-teoremaga ko’ra

integral mavjud bo’ladi va

bo’ladi.
Agar

bo’lishini hisobga olsak, unda

ekanini topamiz. Demak, .
Endi soha ushbu ko’­ri­­­nishda bo’lsin. Bunda va da berilgan va uzluksiz funksiyalar (1-chizma)

1-chizma
4-teorema. funksiya sohada berilgan va integral­la­nuvchi bo’lsin. Agar o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo’lsa, u holda ushbu

integral ham mavjud va

bo’ladi.
 va funksiyalar da uzluksiz. Veyershtrass teore­masiga ko’ra bu funksiyalar da o’zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Ularni
,
deb belgilaylik.
Endi

sohada ushbu

funksiyani qaraylik.
Ravshanki, teorema shartlarida bu funksiya sohada integrallanuvchi va integral xossasiga ko’ra
(7)
bo’ladi. Shuningdek, o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud va
(8)
bo’ladi. Unda 2-teoremaga ko’ra

integral ham mavjud va

bo’ladi.
(7) va (8) munosabatdan

bo’lishi kelib chiqadi.
Endi soha ushbu

ko’rinishda bo’lsin. Bunda va da berilgan uzluksiz funksiyalar (2-chizma (a),(b)).
(a) (b)

2-chizma