Mavzu: Dеfоrmatsiyaning birgalikdagi tenglamalari. Riman-Kristоfеll tеnzоri. Deformatsiyalarning birgalik tenglamalari Reja

Tayanch iboralar: Deformatsiya tenzori, deformatsiya tezliklari tenzori, Kristoffel-Riman simvollari, kovariant va kontravariant hosilalar, birgalik tenglamalari, boshlang’ich va ayni payt, vektor komponentalri, kovariant hosila, dekart koordinatalar sistemasi, skalyar miqdor, Kristoffel simvollari, metrik tenzor, Evklid fazosi.
1. Deformatsiyalarning birgalik tenglamalari

2. 
   Ma’limki, deformatsiya tenzorining komponentalari
   

(9.1)
tengliklar bilan aniqlanadilar. Ko’chish vektori mavjud bo’lganda metrikalari quyidagi

1. 
   t – payt uchun
   

(9.2)

2. 
   t _o- payt uchun
   

(9.3)
formula bilan aniqlovchi

kvadratik shakllarning har ikkalasi ham Evklid fazosidagi biror element uzunligining kvadratini ifodalaydilar. Shuning uchun, fazoning evklidligi shartidan kelib chiqib, har ikkala g_{i j} va fundamental metrik tenzorlar nolga teng bo’lishlari kerak degan xulosaga kelamiz. Bu esa o’z navbatida keltirilgan
(9.4)
va
(9.5)
formulalarga asosan
(9.6)
tenglamalarga olib keladi.
O’tgan paragrafdagi bazis vektorlaridan birlari ixtiyoriy ravishda tanlansa ikkinchilari
(9.7)
va
(9.8)
formulalarga ko’ra deformatsiya yordamida to’liq aniqlanadi. Demak, (9.6) tenglamalardan biri Evklid fazosida bazis vektorlarini tanlash vositasida avtomatik qanoatlantiriladi, ikkinchisi esa bu holda deformatsiya tenzori komponentalari uchun tenglama deb qaralishi mumkin va bu holda ular deformatsiyalarning birgalik tenglamalari deb yuritiladi. Bu tenglamalarni (9.4) formulalar yordamida aniq ko’rinishda yozish mumkin. Hususiy holda ayni deformatsiya holati uchun dekart koordinatalari sistemasi tanlangan bo’lsa, bo’ladi, shuning uchun

birgalik tenglamalarini quyidagicha yozish mumkin:

, (9.9)
bu erda

Oxirgi (9.9) formulalardagi komponentalar quyidagi

matrisaning elementlari kabi aniqlanadi. Bu erda matrisa elementlari

bo’lgan matrisaga teskari matrisadir.

2.