Mavzu: Chiziqli tеnglamalar sistеmasi

Misol-1. Ushbu

differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Bu yerda berilgan differensial tenglamaning xususiy yechimidan iborat bo’lgani uchun

almashtirish bajaramiz. Natijada berilgan differensial tenglama

ko’rinishni oladi. Ma’lumki, bu chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi ushbu

formula orqali topiladi. Bundan

kelib chiqadi.
Teorema-3. Agar Rikkati tenglamasining uchta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, u holda uning umumiy yechimi kvadraturasiz topiladi.
Isbot. Faraz qilaylik, va funksiyalar (1) differensial tenglamaning xususiy yechimlari bo’lsin. U holda (14) chiziqli differensial tenglama ikkita

xususiy yechimlarga ega bo’ladi. Shuning uchun (14) chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi kvadraturasiz topiladi:

(13) va (15) tengliklarni tenglashtirib

munosabatni hosil qilamiz. Bundan o’z navbatida o’zgarmas sonining qiymati topiladi:
.r (16)
Bu esa Rikkati tenglamasining umumiy integralidir. Teorema isbotlandi. ■
Natija-1. Agar Rikkati tenglamasining to’rtta xususiy yechimlari ma’lum bo’lsa, u holda quyidagi

ayniyat o’rinli bo’ladi.
Teorema-4. Rikkati tenglamasining umumiy yechimi, ixtiyoriy o’zgarmas sonining kasr-chiziqli almashtirishidan iborat.
Isbot. Yuqoridagi (14) chiziqli differensial tenglamaning umumiy yehimi

ko’rinishga ega bo’lganligidan (13) almashtirishni

ya’ni
(17)

ko’rinishda yozish mumkin. Bu yerda

Bundan ko’rinadiki, (17) tenglik yordamida aniqlangan funksiya ning kasr-chiziqli almashtirishidan iborat. ■