5-§. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama.
Ushbu
(1)
ko’rinishdagi tenglamaga birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi. Bu yerda va funksiyalar biror oraliqda aniqlangan va uzluksiz deb qaraladi.
Agar bo’lsa, (1) tenglamaga chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglama deyiladi. Agar bo’lsa, (1) tenglamaga chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi va ushbu
(2)
ko’rinishni oladi. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. Ko’rinib turibdiki funksiya (2) differensial tenglamaning yechimidan iborat. Agar bo’lsa, (2) differensial tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
.
Bu tenglikning ikkala tomonini integrallab quyidagi
(3)
tenglikni olamiz. Ushbu
belgilashdan foydanib (3) tenglikdan
(4)
formulani hosil qilamiz. Bu yerda -ixtiyoriy o’zgarmas son.
(4) formula (2) ko’rinishdagi bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechi-
mini ifodalaydi.
Bir jinsli bo’lmagan (1) ko’rinishdagi differensial tenglamaning umumiy yechimini topishning bir qancha usullari bor. Avvalo biz Lagranj, ya’ni o’zgarmasni variyatsiyalash usuli bilan tanishamiz. Shu maqsadda (1) differensial tenglamaning yechimini ushbu
(5)
ko’rinishda izlaymiz. Bu yerda hozircha noma’lum funksiya. (5) tenglikning ikki tomonini differensiallab
(6)
tenglikni hosil qilamiz. Bu va funksiyalarning (5) va (6) ifodalarini mos ravishda (1) differensial tenglamaga qo’yib
munosabatni topamiz. Bundan
kelib chiqadi. Oxirgi tenglikni
ko’rinishda yozib, uni integrallasak
, (7)
munosabatni hosil qilamiz. Yuqoridagi (5) tenglikdan va (7) formuladan fordalanib, (1) differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
. (8)
Bu formuladan foydalanib (1) differensial tenglamaning
(9)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini ham topish mumkin:
. (10)
Bu yerda va berilgan sonlar. Agar (8) tenglikning o’ng tomonidagi ikkinchi hadni
(11)
belgilab olsak, u holda funksiya (1) differensial tenglamaning
(12)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini beradi. Shuning uchun (8) formula
(13)
ko’rinishni oladi. Bu esa bir jinsli bo’lmagan (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi bir jinsli (2) differensial tenglamaning umumiy yechimi bilan bir jinsli bo’lmagan (1) differensial tenglamaning xususiy yechimining yig’indisidan iborat ekanligini ko’rsatadi.
Endi, (1) ko’rinishdagi chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini topishning Bernulli usuli bilan tanishamiz. Shu maqsadda (1) differensial tenglamaning yechimini
(14)
ko’rinishda izlaymiz. Natijada biz ushbu
,
ya’ni
(15)
ko’rinishidagi differensial tenglamaga ega bo’lamiz. Bunda funksiyani shunday tanlaymizki, natijada
shart bajarilsin. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. Bu tenglamani yechib
(16)
funksiyani topamiz. Shuning uchun (15) differensial tenglama ushbu
ko’rinishni oladi. Bu differensial tenglamani integrallab
(17)
munosabatni hosil qilamiz. Topilgan va funksiyaning (16) va (17) ifodalarni (14) tenglikka qo’yib
(1) differensial tenglamaning umumiy yechimini olamiz.
Endi, bir jinsli bo’lmagan (1) differensial tenglamaning xususiy yechimini topishning Koshi usuli bilan tanishamiz. Shu maqsadda, biror nuqtani olib quyidagi bir jinsli differensial tenglamaga qo’yilgan
(18)
Koshi masalasining yechimini topamiz:
(19)
Bundan foydalanib ushbu
(20)
funksiyani tuzib olamiz. Ko’rinib turibdiki bu funksiya
(21)
boshlang’ich shartni qanoatlantiradi. Yuqoridagi (20) tenglikning ikkala tomonini differensiallab
(1) ko’rinishdagi differensial tenglamani keltirib chiqaramiz. Bundan ko’rinadiki (20) tenglik orqali aniqlangan funksiya (1) differensial tenglamaning xususiy yechimini berar ekan. Bundan foydalanib (13) tenglikdan
(1) differensial tenglamaning umumiy yechimining yana bir (Koshi) ko’rinishini topamiz.
Izoh. Agar funksiyalar (1) differensial tenglamaning yechimlari bo’lsa, u holda
munosabat o’rinli bo’ladi. Haqiqatan ham (13) ga asosan yechimlarni ushbu
ko’rinishda yozish mumkin. Bundan foydalanib quyidagi ifodaning qiymatini topamiz:
