Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinssiz differensial tenglamalar

Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinssiz differensial tenglamalar

1. Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinssiz differensial tenglamaning umumiy yechimi.

Ma’lumki, ushbu
(1)
differensial tenglama ikkinchi tartibli chiziqli bir jinssiz differensial tenglama deyiladi, bu holda biror oraliqda berilgan va uzluksiz funksiyalar.
Quyidagi
(2)
tenglama esa, ( bo‘lgan hol) (1) tenglamaning bir jinsli tenglamasi deyiladi.
Aytaylik,

funksiya (2) tenglamaning yechimi bo‘lsin:
(3)
(1) tenglamada

almashtirish bajaramiz. U holda

bo‘lib, ularni (1) tenglamadagi larning o‘rniga qo‘yish natijasida ushbu

ya’ni

tenglamaga kelamiz. Bu tenglikning chap tomonidagi ikkinchi qavs ichidagi ifoda (3) ga ko‘ra aynan 0 ga teng. Shuning uchun keyingi tenglama quyidagi
(4)
ko‘rinishga keladi.
Endi (4) tenglamada

deyilsa, natijada ga nisbatan
(5)
chiziqli tenglama hosil bo‘ladi.
Demak, ikkinchi tartibli chiziqli (1) tenglamani yechish, birinchi tartibli chiziqli tenglama (5) ni yechishga keldi.
Ma’lumki, birinchi tartib chiziqli differensial tenglama

ning umumiy yechimi

Shu formuladan foydalanib (5) tenglamaning umumiy yechimini topamiz:

Bu tenglik va

bo‘lishini e’tiborga olsak, unda

kelib chiqadi.
Ma’lumki,

Oxirgi ikki tenglikdan foydalanib topamiz:
(6)
Shunday qilib

bir jinsli tenglamaning bitta xususiy yechimi ma’lum bo‘lsa, unda

bir jinssiz tenglamaning umumiy yechimi (6) formula yordamida topiladi.


Misol. Ushbu

differensial tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Bu tenglamaning bir jinsli tenglamasi

bo‘lib,

funksiya uning xususiy yechimi bo‘ladi. Haqiqatan ham,

uchun ushbu

ifoda qiymati

Demak, berilgan tenglamaning umumiy yechimi (6) formulaga ko‘ra


 bo‘ladi.
Qaralayotgan ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglama
(1)
ning umumiy yechimini quyidagicha ham topish mumkin.


Tasdiq. Agar funksiya (1) tenglamaning xususiy yechimi bo‘lib, esa
(2)
bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi bo‘lsa, u holda

funksiya (1) tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi.
Shartga ko‘ra

(7)
Endi

larni (1) tenglamaning chap tomonidagi _{ } lar o‘rniga qo‘ysak, u holda (1) tenglama chap tomonidagi ifoda ushbu


ko‘rinishga keladi va u (7) munosabatga ko‘ra

ga teng bo‘ladi. Demak,

Bu esa funksiya (1) tenglamaning yechimi ekanini bildiradi. Ayni paytda ning ifodasida ikkita ixtiyoriy o‘zgarmas bo‘ladi, (chunki funksiya (2) tenglamaning umumiy yechimi bo‘lganligi uchun uning ifodasida ikkita ixtiyoriy o‘zgarmas qatnashadi) va

funksiya (1) tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi.
Bu tasdiqdan quyidagi xulosa kelib chiqadi: (1) bir jinssiz tenglamaning umumiy yechimini topish ikkita soddaroq masalaga a) (1) bir jinssiz tenglamaning xususiy yechimini, b) (2) bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topishga keladi.
2. (1) bir jinssiz tenglamaning xususiy yechimini topis uchun Lagranj usuli. Endi
(1)
bir jinssiz tenglamaning xususiy yechimini topish usullaridan birini keltiramiz.
Aytaylik, (1) tenglamaning bir jinsli tenglamasi
(2)
ning ikkita chiziqli erkli xususiy yechimlar topilgan bo‘lsin. U holda (2) tenglamaning umumiy yechimi

bunda va lar ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar.
Endi bu ifodadagi va larni o‘zgaruvchining funksiyalari bo‘lsin deymiz va
(8)
funksiya (1) bir jinssiz tenglamaning yechimi bo‘lsin. Masala, shunday va larni topishdan iborat.
(8) tenglikning har ikki tomonini differensiallab topamiz:

Qidirilayotgan va funksiyalar uchun
(9)
bo‘lsin deb talab qilamiz. Natijada keyingi tenglik ushbu
(10)
ko‘rinishga keladi. (10) tenglikning har ikki tomonini differensiallab topamiz:
(11)
Endi (8),(10) va (11) munosabatlarda ifodalangan larni (1) tenglikdagi lar o‘rniga qo‘yib topamiz:


Bu tenglikni quyidagicha yozsa bo‘ladi:


Modomiki, va funksiyalar (2) tenglamaning yechimlari ekan, u holda
(12)
bo‘ladi.
(11) va (12) munosabatlardan

bo‘lishi kelib chiqadi.
Shunday qilib va larni topish uchun ushbu
(13)
sistemaga kelamiz. Bu sistemani yechib, , lar topiladi va ularni integrallash natijasida ularning qiymatlari kelib chiqadi. Bu  va larni

dagi va lar o‘rniga qo‘yib, qaralayotgan bir jinssiz (1) tenglamaning umumiy yechimi topiladi.
Bunday usul bilan (1) tenglamaning umumiy yechimini topish Lagranj usuli deyiladi.


Misol. Ushbu

differensial tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Berilgan tenglamaning bir jinsli tenglamasi

bo‘ladi. Uning xarakteristik tenglamasi

va yechimlari Demak, bir jinsli tenglamaning xususiy yechimlari

bo‘lib, umumiy yechimi

bo‘ladi. Bu holda larni topish uchun tuzilgan (13) sistema quyidagicha

Sistemani yechib topamiz:




Keyingi tengliklarni integrallasak, u holda


kelib chiqadi. Demak, berilgan bir jinssiz differensial tenglamaning umumiy yechimi