Matematika ta’lim yo’nalishi kurs ishi mavzu

2.4-misol: qatorning yig’indisini toping.
Yechilishi. Ma’lumki

darajali qator (- 1; 1) da yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ga teng
=
Bu qatorni 5-xossaga asosan, (-1; 1) da hadma-had differensiallash mumkin, ya’ni
(
Oxirgi tenglikning chap va o ‘ng tomoniga x ϵ( - l ; l ) ni ko‘paytirib, berilgan qatorning yig’indisiga ega bo’lamiz:



2.5-misol. Ushbu darajali qatorning yig’indisini toping:

Yechilishi. Berilgan darajali qator umumiy hadining koeffitsiyenti Darajali qatorning yaqinlashish radiusini (4) formulaga asosan topamiz: =
=
Darajali qatorni (-1; 1) intervalda, 5-xossaga ko‘ra, hadma-had differensiallash mumkin:

4- xossaga asosan, keyingi tenglikni x < l da hadma-had integrallab.
+C
ifodaga ega bo'lamiz. Bunda x=0 deb, C=0 ekanligini topamiz. Shunday qilib,
(x<1)


II BOB
2.1 Darajali qatorlar. Abel teoremasi.
Biz avvalgi paragraflarda funksional qatorlarni o`rgandik. Funksional qatorlar orasida, ularning xususiy holi bo`lgan ushbu
(3.1)
yoki, umumiyroq,
(3.2)
qatorlar (bunda ) matematikada va uning tatbiqlarida muhim rol o`ynaydi. Bu yerda, ushbu bobning 1-& idagi (2.1) ifodada qatnashgan sifatida
,
ya’ni o`zgaruvchining darajalari qaralyapti. Shu sababli (2.2) va (3.2) qatorlar darajali qatorlar deb ataladi.
Agar (3.1) qatorda deb olinsa, u holda bu qator o`zgaruvchiga nisbatan qator ko`rinishiga keladi. Demak, qatorlarni o`rganish kifoyadir.
(3.1) ifodadagi haqiqiy sonlar darajali qatorning koyeffisientlari deb ataladi.
Darajali qatorning tuzilishidan, darajali qatorlar bir-biridan faqat koyeffisientlari bilangina farq qilishini ko`ramiz. Demak, darajali qator berilgan deganda uning koyeffisientlari berilgan deganini tushunamiz.
Misollar. Ushbu

1. 
   
   
2. 
   
   

qatorlar darajali qatorlardir.
Shunday qilib, darajali qatorlarning har bir hadi (- ) da berilgan funksiyadir. Binobarin, darajali qatorni, formal nuqtai nazardan, (- ) da qarash mumkin. Ammo, tabiiyki, ularni ixtiyoriy nuqtada yaqinlashuvchi bo`ladi deb olmaymiz.
Albatta, ihtiyoriy darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi bo`ladi. Bu ravshan. Demak, darajali qatorning yaqinlashish sohasi albatta nuqtani o`z ichiga -9-
oladi. Darajali qatorning yaqinlashish sohasi (to`plami) strukturasini aniqlashda quyidagi Abel teoremasiga asoslaniladi.
14.14-teorema (Abel teoremasi). Agar
(3.3)
darajali qator ning x= ( ) qiymatida yaqinlashuvchi bo`lsa, x ning
(3.4)
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida (3.3) darajali qator absolyut yaqinlashuvchi bo`ladi.
Isbot. Shartga ko`ra

qator (sonli qator) yaqinlashuvchi. U holda qator yaqinlashuvchiligining zaruriy shartiga asosan

bo`ladi. Demak, ketma-ketlik chegaralangan bo`ladi, ya’ni shunday o`zgarmas soni mavjudki, uchun

tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlikni e’tiborga olib quyidagini topamiz:

Endi ushbu
(3.5)
qator bilan birga quyidagi
(3.6)
qatorni qaraylik. Bunda, birinchidan (14.31) qator yaqinlashuvchi (chunki bu qator geometric qator bo`lib, uning mahrajiga ko`ra 1 dan kichik: ), ikkinchidan qatorning har bir hadi qatorning mos hadidan kata emas. U holda 1-qism 11-bob, 3-& da keltirilgan teoremaga ko`ra qator yaqinlashuvchi bo`ladi. Demak, berilgan (14.27) darajali qator absolyut yaqinlashuvchi. Teorema isbot bo`ldi. 14.1-natija. Agar
(3.7)
darajali qator ning qiymatida uzoqlashuvchi bo`lsa, ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida uzoqlashuvchi bo`ladi.
Isbot. Berilgan (14.27) darajali qator nuqtada uzoqlashuvchi bo`lsin. Unda bu qator ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida ham uzoqlashuvchi bo`ladi, chunki (14.27) qator ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi biror qiymatida yaqinlashuvchi bo`ladigan bo`lsa, unda Abel teoremasiga ko`ra bu qator ( ) nuqtada ham yaqinlashuvchi bo`lib qoladi. Bu esa (14.27) qatorning da uzoqlashuvchi deyilishiga ziddir. Natija isbot bo`ldi.

2.