2. Ikki karrali integralning tadbiqlari

2. Ikki karrali integralning tadbiqlari.
a) Massa va yuzani hisoblash. karrali integralda integral ostidagi funksiyani birga aynan teng deb olinsa, u holda sodda yopiq chiziq bilan chegaralangan tekis (G) sohaning yuzini
(15.17)
formula yordamida hisoblanadi.
Agar kvadrlanuvchi(yuzaga ega bo’lgan) (G) sohada zichlikka ega bo’lgan biror massa taqsimlangan bo’lsa, u holda bu massa ikki karrali integral ta`rifiga asosan
(15.18)
formula yordamida topiladi.
15.4-misol. Agar (G) soha chiziqlar bilan chegaralangan bo’lsa, uning yuzini hisoblang.
Yechish. (G) soha chegarasining tenglamasini va qutb koordinatalar sistemasida
va ko’rinishda yozish mumkin. Bu yerda tekislikning Bernulli lemniskatasi bilan aylananing kesishmasida hosil bo’lgan (aylananing tashqarisidagi qismi) bo’lagining yuzini topish talab qilinadi. Aylana bilan lemniskataning kesishish nuqtalaridan biri dan iborat. Qaralayotgan sohaning simmetrikligidan foydalanib, uning tenglama bilan aniqlangan to’rtdan bir qismining yuzini topib, natijani to’rtga ko’paytiramiz. Qutb koordinatalar sistemasiga o’tib, (15.17) formuladan foydalanilsa, quyidagini olamiz:

b) Hajmni hisoblash. Agar silindrik g’o’la quyidan z=0 tekislik bilan, yuqoridan uzluksiz sirt bilan, yon tomondan Oz o’qiga parallel silindrik sirt bilan chegaralangan bo’lib, Oxy tekislikdan kvadrlanuvchi (G) yopiq sohani kesib o’tsa, u holda g’o’laning V hajmi
(15.19)
formula yordamida hisoblanadi.
c) Ikki karrali integralning mexanikaga tadbiqi. Kvadrlanuvchi (G)sohada zichlikka ega bo’lgan biror massa taqsimlangan bo’lsin, bunday sohani S shakl deb ataylik.
1. S shaklning Ox va Oy koordinata o’qlariga nisbatan statik momentlari
, (15.20)
formulalar yordamida topiladi.
2. S shaklning og’irlik markazi ning koordinatalari

yoki
(15.21)
formulalar yordamida topiladi.
3. S shaklning Ox va Oy koordinata o’qlariga nisbatan inersiya momentlari
, (15.22)

formulalar yordamida, koordinata boshiga nisbatan inersiya (qutb) momenti

(15.23)
formula yordamida topiladi.