2. Ikki karrali integralning tadbiqlari

15.4-ta’rif. (15.24) yig’indiga funksiyaning (V ) soha bo’yicha integral yig’indisi deb ataladi.
15.5-ta’rif. Agar son uchun shunday son mavjud bo’lsaki, da bo’lsa, u holda soniga (15.24) integral yig’indining limiti deb ataladi.
15.6-ta’rif. Agar (15.24) integral yig’indi da bo’linish qonunidan va nuqtalarning tanlanishidan bog’liq bo’lmagan holda chekli limitga ega bo’lsa, bu limit qiymatga funksiyaning (V ) soha bo’yicha uch karrali
integrali deb ataladi va quyidagicha belgilanadi:

yoki
(15.25)
sohada funksiya qiymatlarining aniq quyi va aniq yuqori chegaralarini , kabi belgilasak, u holda
va
yig’indilar mos ravishda funksiyaning sohada qaralayotgan bo’linishdagi Darbu yuqori va quyi yig’indilari deb ataladi.
Darbu yig`indilari yordamida uch karrali integralning mavjudligi haqidagi quyidagi teorema o`rinli:
15.7 – teorema. Jordan bo’yicha o’lchovli bo’lgan yopiq sohada chegaralangan funksiya bu sohada Riman bo’yicha integrallanuvchi bo’lishi uchun

shartning bajarilishi zarur va yetarlidir.
15.8 – teorema. Jordan bo’yicha o’lchovli bo’lgan yopiq chegaralangan sohada uzluksiz bo’lgan har qanday funksiya bu sohada Riman bo’yicha integrallanuvchidir.
15.9 – teorema. Agar funksiyaJordan bo’yicha o’lchovli bo’lgan yopiq chegaralangan sohada chegaralangan va o’lchovi nul bo’lgan to’plam nuqtalaridan boshqa barcha nuqtalarda uzluksiz bo’lsa, u holda funksiya bu sohada integrallanuvchi bo’ladi.
Uch karrali integral xossalari. Uch karrali integrallar ham ikki karrali integrallarning xossalari kabi xossalarga ega.
1⁰-2⁰(chiziqlilik). Agar va funksiyalar sohada integrallanuvchi bo’lib, va o’zgarmas sonlar bo’lsa, u holda funksiya ham sohada integrallanuvchi bo’ladi va

3⁰(additivlik). Agar va Jordan bo’yicha o’lchovli to’plamlar bo’lib, va funksiya sohada chegaralangan hamda integrallanuvchi bo’lsa, u holda va integrallar mavjud bo’lib,