2. Ikki karrali integralning tadbiqlari

15.9-misol. integralni hisoblang, bu yerda soha shardan iborat.
Yechish. soha quyidan va yuqoridan sferik sirtlar bilan chegaralangan. (15.31) formulaga ko’ra
=



15.10-misol. integralni hisoblang, bu yerda soha sirtlar bilan chegaralangan.
Yechish. soha uchu koordinata boshida bo`lgan konusni tekislik bilan kesilganda hosil bo`ladi. Oy o`qiga parallel bo`lib, konusning ichki nuqtasidan o`tuvchi har qanday to`g`ri chiziq uning chegarasini ikkita nuqtada kesib o`tadi, bu konusning xOztekislikka proeksiyasi doiradan iborat. . (15.27) formulada z va y o`zgaruvchilarning rollarini almashtirib quyidagini olimiz:

Oxirgi karrali integralda qutb koordinatalar sistemasiga o`tamiz: , ni bilan almashtiramiz, bu yerda ;


4. Uch karrali integralning ba’zi tadbiqlari.
1⁰. Fazoviy chegaralangan sohaning V hajmi dekart koordinatalar sistemasida
(15.32)
formula bilan topiladi.
Silindrik va sferik koordinatalar sistemasida mos ravishda (15.29) va (15.30) larga asosan
va
formulalar bilan topiladi, bu yerda sohadagi massa taqsimotining zichlik funksiyasi.
2⁰. chegaralangan fazoviy sohadagi massa taqsimotining zichlik funksiyasi bo’lsin. U holda:
a) bu jism massasi
(15.33)
formula bilan topiladi.
b) koordinata o’qlariga nisbatan statik momentlari; koordinata tekisliklariga nisbatan inersiya momentlari; koordinata boshiga nisbatan qutb momenti mos ravishda quyidagi formulalar bilan topiladi:
; ;
; ;
; ; . (15.34)
в) jismning og’irlik markazi koordinatalari
(15.35)
formulalar bilan topiladi.
Bir jinsli jism uchun bu formulalarda deb olinadi.
15.11-misol. Har bir nuqtasidagi zichligi shu nuqta ordinatasiga teng bo’lgan hamda sirt bilan va tekisliklar bilan chegaralangan silindrik jismning massasini toping.
Yechish. Shartga ko’ra jismning M(x,y,z) nuqtasidagi zichlik bo’lib, jism massasi (15.33) ga ko’ra

formula bilan topiladi. Bu integralni (15.27) formula bo’yicha hisoblaymiz, bu yerda tekis soha parabola va chiziqlar bilan chegaralangan: