2. Ikki karrali integralning tadbiqlari

15.12-misol. Bir jinsli, radiusi birga teng bo’lgan sharning inersiya momentini uning markaziga nisbatan toping
Yechish. Koordinata boshini shar markaziga ko’chiramiz, u holda shar markaziga nisbatan uning inersiya momenti koordinata boshiga nisbatan inersiya momentiga teng bo’ladi. (15.36) formulaga ko’ra

ga ega bo’lamiz, bu yerda shardan iborat. Sferik koordinatalar sistemasidan foydalanib integralni hisoblaymiz:


Mavzuni o‘zlashtirish darajasini tekshirish va mustahkamlash (10 daqiqa).
Mavzu bo‘yicha asosiy tushunchalar va tasdiqlar o‘z ifodasini topgan o‘z – o‘zini tekshirish savollari va muammoli topshiriqlardan ba’zilari taklif etiladi va talabalarning javoblari eshitiladi, so‘ngra, mavzu bo‘yicha o‘z– o‘zini tekshirish savollariga javoblar yozish va muammoli topshiriqlarni bajarish talabalarga uyga vazifa sifatida beriladi (ular ma’ruza matnining oxirida keltirilgan).
15.3-mavzu bo’yicha muammoli topshiriqlar
1. integralda integrallash tartibini turli usullarda almashtiring.
2. integralni hisoblang, bu yerda integrallash sohasi tekisliklar yordamida chegaralangan.
3. Uch karrali integral yordamida jism massasini toping, bu yerda jism sharni silindr bilan kesilganda hosil bo`ladi.
4. Uch karrali integral yordamida sharning massasini toping, bu yerda sharning zichligi qonuniyat yordamida o`zgaradi.
5. Agar (V )jism: a) silindrik sirtlar va tekisliklar;
b) konus va paraboloid bilan chegaralangan bo’lsa, uning hajmini toping.
6. Agar silindrning har bir nuqtasidagi zichligi shu nuqtadan silindr o’qigacha bo’lgan masofaga proporsional bo’lsa, uning massasini va asosining diametriga nisbatan inersiya momentini toping.
7. paraboloid va konus sirtlar bilan chegaralangan bir jinsli jismning og’irlik markazi koordinatalarini toping.
8. Bir jinsli ellipsoidning birinchi oktantda joylashgan sakkizdan bir bo’lagining og’irlik markazi koordinatalarini toping.
9. Uch karrali integral yordamida tekislik bilan kesilgan ellipsoidning o`irlik markazi koordinatalarini toping.
O`z-o`zini tekshirish savollari
1.Uch karrali integralning ta’rifini bering.
2. Uch karrali integralning xossalarini keltiring.
3. Uch karrali integralni hisoblash usullari, o’zgaruvchilarni almashtirish.
4. Uch karrali integral yordamida jism massasi qanday topiladi?
5. Uch karrali integral yordamida jismning statik momenti qanday formuladan topiladi?
6. Uch karrali integral yordamida jism og`irlik markazi koordinatalari qanday topiladi?
7. jismning inersiya va qutb momentlarini topish qanday bajariladi?