Matematik modellashtirish va hisoblash eksperimenti fanidan kurs ishi mavzu: To’lqin tenglamasi uchun qo’yilgan umumiy masalani ChA usuli bilan yechish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS
TA’LIM VAZIRLIGI
SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI
RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR FAKULTETI
MATEMATIK MODELLASHTIRISH KAFEDRASI
MATEMATIK MODELLASHTIRISH VA HISOBLASH EKSPERIMENTI FANIDAN
KURS ISHI
Mavzu: To’lqin tenglamasi uchun qo’yilgan umumiy masalani ChA usuli bilan yechish.

Bajardi: M. Abduraxmonov

Tekshirdi: B. Xo’jayorov,
Samarqand 2022
Reja

1. 
   KIRISH
   
2. 
   ASOSIY BO’LIM
   

1. 
   To‘lqin tenglamasi uchun ayirmali sxemalar
   
2. 
   Dissipatsiya va dispersiyaning to’r va to’lqinli yechimi
   
3. 
   Laks-Vendroff sxemasi
   

3. 
   XULOSA
   

VI. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
KIRISH.

TO’LQIN TENGLAMASI UCHUN AYIRMALI SXEMALAR

Bir o'lchovli holatda, tashqi ta'sir bo'lmaganda bir jinsli muhitda tebranish tenglamasi quyidagicha tavsiflanadi.

(5.1)
Boshlang’ich shartlar

va chegara shartlari

Bu erda muhit zarrachalarining tezligini yoki bosimni, - tovush tezligini bildiradi. Biz va qadamlar bilan ayirmali to’rni kiritamiz, bu erda - ayirmali to’rning tugunlar soni. Biz (3.2) da aniqlangan ikkinchi tartibli hosila uchun ayirmali ifodasidan foydalanamiz va uni nuqta fazoga nisbatan va vaqtga nisbatan hosilani vaqt momentida approksimatsiya qilish uchun foydalanamiz. Natijada, quyidagi ayirmali sxemasini olamiz.
(5.2)
bu esa hisoblash formulasiga olib keladi



bu erda - o’lchamsizlik parametric bo’lib, Kurant parametri deb ataladi. (5.2) sxema uchun shablon 5.1 rasmda ko'rsatilgan., shuning uchun u ko'pincha "xoch" sxema deb ataladi.

5.1 Rasm.. Xoch sxema shabloni
Taqribiy yechimning va dagi qiymatlari boshlang’ich shartlardan hisoblanadi, va dagi qiymatlari esa chegaraviy shartlaridan hisoblanadi. Birinchi turdagi chegaraviy shartlarda formulalar oddiy ko’rinishga ega:

Ikkinchi turdagi chegaraviy shartlarni approksimatsiya qilish uchun fiktiv sohalar usulidan foydalanamiz. Ushbu protsedurani nuqtada quyilgan chegaraviy sharti misolida ko'rib chiqamiz. Koordinatalari bo'lgan fiktiv qatlamni kiritamiz, keyin markaziy ayirma yordamida chegaraviy nuqtasidagi hosilani h ning ikkinchi tartibi bilan approksimatsiya qilishimiz mumkin.

Bundan tashqari, uchun (5.2) sxemani yozamiz:

Oxirgi ifodadan fiktiv qiymatni yo’qotib, chegaraviy nuqtada taqribiy yechimni hisoblash formulasini olamiz.

Keling, "xoch" sxemasining xususiyatlarini o'rganamiz. (3.14) dan oxirgi munosabatdan foydalanib, quyidagi ifodani olamiz:

Demak, (5.2) ayirmli sxema (5.1) differensial masalani va bo’yicha ikkinchi tartibli bilan approksimatsiya qilingani. Keyinchalik, (3.17) ko'rinishdagi yechimni ayirmali sxemasiga almashtirib, o'tish operatorining xos qiymatlari uchun tenglamani olamiz.

Bu tenglamaning yechimi:

va fon Neyman mezoniga ko'ra, "xoch" sxemasi uchun turg’un bo'ladi.