Matematik modellashtirish va hisoblash eksperimenti fanidan kurs ishi mavzu: To’lqin tenglamasi uchun qo’yilgan umumiy masalani ChA usuli bilan yechish

5.4 Rasm. Oraliq yechimni hisoblash uchun yordamchi tugunlari
Keyin yakuniy qiymatlar
(5.9)
tenglamadan olinadi.
(5.8) va (5.9) ifodalar ikki bosqichli Laks-Vendroff sxemasi deb ataladi. matritsa o’zgarmas bo'lgan maxsus holatda bu sxema (5.7) sxemaga o'tishini ko’rish oson.
Keling, (5.7) sxemaning turg’unligi tahliliga murojaat qilaylik. Faqat endi bizda tenglamalar sistemasi mavjud, shuning uchun (3.17) o'rniga biz yechimni quyidagi shaklda aniqlaymiz.

bu yerda qandaydir o’zgarmas vektor. Ushbu yechimni (5.7) ayirmali sxemasiga almashtirsak quyidagi ifodani beradi:

Ba'zi o'zgarishlardan so'ng biz standart xos qiymat masalasini olamiz:

xarakteristik tenglamaning yechimi o‘tish operatorining xos qiymati uchun quyidagi ifodani beradi:

Keyin fon Neyman mezonidan kelib chiqadiki, (5.7) ayirmali sxemasi uchun turg’un bo'ladi.

yechimida (5.5) tenglamalar sistemasi uchun ayirmali sxemalarining dissipativ va dispersiya xossalarini tahlil qilamiz.
Agar bu yechimni (5.7) ayirma sxemasiga quysak, quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz

shartidan quyidagi dispersiya munosabatini kelib chiqadi

va shuning uchun kompleks qiymatlarni oladi, bu esa dissipatsiyani to’r yechimini ko'rsatadi. Biz belgisini kiritamiz va oldingi ifodadagi haqiqiy va mavhum qismlarni tenglashtirib, quyidagilarni olamiz:


Bu yerdan kamayuvchi koeffitsientini olish qiyin emas

va to'lqinning to’rdagi guruh tezligi

5.5 va 5.6-rasmlarda dissipatsiya parametri ning va guruh tezligining Kurant parametriga bog'liqligi ko'rsatilgan.

5.5 rasm Laks - Vendroff sxemasi uchun dissipatsiya parametrining Kurant parametriga bog'liqligi
Chegaraviy shartlarni va bo’yicha approksimatsiya qilish uchun fiktiv sohalar usulini ishlatilishi mumkin. Masalan, uchun chegaraviy shart berilsin: . Ayirmali shaklida bu chegaraviy shart juda sodda ko’rinishda yoziladi:

(5.7) sxema bo'yicha hisoblash uchun bizga chegaraviy tugundagi bosim qiymati ham kerak. Ushbu qiymatni aniqlash uchun biz koordinatalari bo'lgan fiktiv qatlamni kiritamiz va (5.7) dagi ikkinchi tenglamani quyidagi shaklda yozamiz.