Matematik modellashtirish va hisoblash eksperimenti fanidan kurs ishi mavzu: To’lqin tenglamasi uchun qo’yilgan umumiy masalani ChA usuli bilan yechish

5.1-misol ("Xoch" sxemasi). Nol boshlang'ich va chegaraviy shartlari bilan (5.1) masalani ko'rib chiqing
(5.3)
bu erda (5.2) sxema yordamida olingan yechim 5.2 rasmda ko'rsatilgan.
Ushbu tarmoq ko'rsatganidek, bu amplitudani saqlab qoladi, lekin to'lqin shaklini buzadi. Bundan yuqori, yuqori chastotali tebranish paydo bo'ladi, ular aniqda yo'q.

(5.1) tenglamaning vaqtida (5.3) chegaraviy shartlardagi yechimi; uzluksiz chiziq - aniq yechim, shtirix chiziq - taqribiy yechim
Ko'rinib turibdiki, chegarasida taqribiy yechim aniqga yaqinlashadi, lekin aslida biz fazoviy va vaqtdagi chekli qadamlar bilan ishlaymiz. Bunday holda, approksimatsiyani tahlil qilish, masalan, dissipatsiya va dispersiya kabi ayirmali sxemasining xususiyatlari haqida to'liqroq ma'lumot olishga imkon bermaydi. Keyinchalik, biz ushbu muhim xususiyatlarni tahlil qilish usulini muhokama qilamiz.
DISSIPATSIYA VA DISPERSIYANING TO’R VA TO’LQINLI YECHIMI

Ayirmali yechimning dissipatsiya va dispersiyasini ko'rib chiqishdan oldin, biz differentsial to'lqin tenglamasi uchun ushbu xususiyatlarni aniqlashimiz keraki, buning uchun biz quyidagi shakldagi yechimni olamiz

- aylana chastotasi, - to'lqin raqami. Agar bu yechimni qandaydir chiziqli bilan almashtirsak
- aylana chastotasi, - to'lqin soni. Agar bu yechimni qandaydir chiziqli to’lqin tenglamasiga almashtirsak, bog’liqligini olamiz, bu dispersiya munosabati deyiladi. Agar haqiqiy qiymatlarni qabul qilsa, garmonikaning amplitudalari vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi. Aks holda, kompleks qiymatlarni qabul qilganda, to'lqin bilan so’nadi (Dissipatsiyalanadi).

nisbat fazaviy tezligi deb ataladi, ya'ni tezlik, faza yoki tugunining o’ziga xos garmonik harakati.

qiymati guruh tezligi deb ataladi. U yaqin to'lqin sonlariga ega bo'lgan garmonik to'lqinlardan tashkil topgan to'lqin paketining tezligi sifatida talqin qilinishi mumkin. To'lqindagi energiyani uzatish guruh tezligi bilan amalga oshiriladi. Agar fazaviy (guruh) tezligi k ga bog'liq bo'lsa, u holda har xil to'lqin sonlariga ega bo'lgan garmonikalar turli tezliklarda tarqaladi. Bu hodisa dispersiya deb ataladi. (5.1) tenglama uchun va shuning uchun ni olish oson. Demak, (5.1) tenglamaning aniq yechimi sunuvchi va dispersiyasiz tarqaladigan to’lqindir. Boshqa misol: chiziqli Burgers tenglamasi uchun

bilan bog’liq ko'rinishga ega

Bu munosabat sunuvchi dispersiyalanmaydigan to'lqinni tasvirlaydi. Xususiy holda, uchun (3.1) o’tkazuvchanlik tenglamasini olamiz, bu uchun munosabati o'rinli va sunish koeffitsienti nolga teng.
To'lqin tarqalishi masalalarni sonli yechishda to'r yechimining sunishi va dispersiyasi yuzaga keladi, bu ayirmali tenglamalar shakli bilan bog'liq. Kuchli sunishi vaqtning ma'lum qadamlaridan so'ng to'lqin shunchaki yo'qolib ketishiga olib keladi (bunday yechimning namunasi 3.3-rasmda ko'rsatilgan). Dispersiya, garchi u to'lqinning amplitudasiga ta'sir qilmasa ham, uning shaklini buzadi. Dispersiya, shuningdek, to'lqinlarni aks ettirish va interferensiyasini hisoblashda xatolarga olib keladi.

yechimda to‘r yechimning dissipasiyasi va dispersiyasini tahlil qilamiz.
Agar bu yechimni ayirmli sxemasi bilan almashtirsak, u holda shaklning ma'lum bir munosabatini olamiz. Ushbu munosabatda differensial tenglama uchun mos keladigan sxema orqali approksimatsiyalab dispersiya munosabati bilan taqqoslab, biz ushbu sxemaning xususiyatlarini tahlil qilishimiz mumkin. Misol sifatida, "xoch" sxemasining xususiyatlarini ko'rib chiqaylik. Yuqoridagi yechimni (5.2) sxemaga almashtiramiz va quyidagi ifodani olamiz

bundan kelib chiqadiki

Bunday holda, haqiqiy qiymatlarni oladi, ya’ni to'lqin tarqalishini to'r yechimi vaqt o’tishi bilan sunmaydi. Oldingi ifodadan orqali, quyidagi dispersiya munosabatiga ega bo’lamiz:

Keyin to'rda to'lqin tarqalishi guruh tezligi quyidagicha aniqlanadi

ya'ni (5.1) tenglamadan farqli ravishda dispersiya yuzaga keladi. Faqat bo'lganda, taqribiy yechimning guruh tezligi aniq yechimning guruh tezligiga to'g'ri keladi.
To'rda ifodalanishi mumkin bo'lgan minimal to'lqin uzunligi . Tushunarliki, ushbu to'lqin uzunligiga ega bo'lgan garmonikalar dispersiyaga uchraydi. Bu holda o'lchamsiz parametrning Kurant parametriga bog'liqligi 5.3 rasmda ko'rsatilgan.
Ushbu rasmda ko'rsatilgan munosabatlar eng yomon holatni ifodalaydi. Ko'p katta fazoviy qadamlarga ega to'lqin uzunliklari uchun taqribiy yechimning dispersiyasi kamayadi (buni dastur xususiyatlari yordamoda tekshiring).