M’aruza O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani

Teorema. (Bernulli formasida katta sonlar qonuni). Ixtiyoriy son uchun munosabat o‘rinli bo‘ladi.

_{Isbot. Chebishev tengsizligiga asosan}

.

Bu tengsizlikdan da limitga o‘tsak, teoremaning isboti kelib chiqadi. Demak, tajribalar soni etarlicha katta bo‘lsa, kuzatilayotgan hodisa ro‘y berishining nisbiy chastotasi kuzatilayotgan hodisaning ro‘y berish ehtimoli ga yaqin bo‘lar ekan.

Barcha tasodifiy miqdorlarning bog‘liq bo‘lmaslik va bir xil taqsimlanganlik shartlaridan voz kechib, boshqa umumiyroq teoremani ham isbot qilish mumkin. Hatto, dispersiyalarning juda tez ortmasligini talab qilib, ularning chegaralanganligidan ham voz kechish mumkin.

^Teorema. (Markov formasida katta sonlar qonuni). Agar

^{tasodifiy miqdorlar uchun da}



munosabat bajarilsa, berilgan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo‘ysinadi.

Xususan, tasodifiy miqdorlar o‘zaro bog‘liq bo‘lmasa va bo‘lsa, Markov teoremasi sharti bajariladi. Bu esa u Chebishev teoremasining xususiy holi ekanligini ko‘rsatadi,

Markov teoremasining isboti ham Chebishev teoremasi isbotiga o‘xshash. Buni o‘quvchiga havola qilamiz.

Katta sonlar qonunining bajarilishn uchun etarli va zaruriy shart.

Teorema. Ixtiyoriy tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi

<sub>katta sonlar qonuniga bo‘ysinishi uchun da

(6)</sub>

( bu yerda ) munosabatning o‘rinli bo‘lishi zarur va etarlidi.