|
2-ma’ruza Ehtimolliklar fazosi. Elementar hodisalar fazosi. Hodisalar va ular ustida amallar [1] bob I, 1.1-§.
Mavzu: Elementar hodisalarning ixtiyoriy fazosi.
Reja:
Ehtimollar nazariyasining aksiomalari. Ehtimollik fazosi.
Ehtimolning xossalari.
Tayanch iboralar: Ehtimollik fazosi, elementar hodisalar fazosining qism to‘plamlari sistemasi (to‘plamning Borel maydoni), ishonchli va ishonchsiz hodisalarning ehtimollari, qarama-qarshi hodisaning ehtimoli.
Ehtimollar nazariyasining aksiomalari.
Ehtimollik fazosi. Biz hozirga qadar qaragan masalalarimizda elementar hodisalar to‘plami chekli yoki sanoqli sondagi elementlardan tashkil topgan edi. Bunday holda ehtimolni elementar natijalar ehtimollari yordamida aniqlagan edik. Unda ehtimollik elementar hodisalar fazosining barcha qism to‘plamlari uchun aniqlangan va quyidagi xossalarga ega bo‘lgan funksiyaligi ma’lum bo‘ldi:
1. .
2. .
3. Birgalikda bo‘lmagan hodisalar uchun .
Biroq qayd qilinib o‘tilganidek, barcha natijalar to‘plami sanoqsiz bo‘lgan masalalarni tasavvur qilish qiyin emas. Masalan, tajriba nuqtani kesmaga tasodifiy tashlashdan iborat bo‘lsin. Bu yerda elementar hodisa tashlangan nuqtaning kesmadagi birorta aniq nuqtaga tushishi bo‘lib, elementar hodisalar fazosi kontinium quvvatga ega. Shu bilan birga agar barcha natijalar to‘plami chekli yoki sanoqli bo‘lgan tajribalarda natijalarning har qanday to‘plami hodisani tashkil qilgan bo‘lsa, qaralayotgan misolimizda bunday deb bo‘lmaydi. Agar tasodifiy hodisa deb kesmaning ixtiyoriy qism to‘plamini hisoblaydigan bo‘lsak, biz katta qiyinchiliklarga duch kelamiz. Bu yerda hodisa sifatida qism to‘plamlarning maxsus sinfini ajratish zarur.
Aytaylik, elementar hodisalar fazosi ixtiyoriy to‘plam bo‘lib, esa uning qism to‘plamlarining biror sistemasi bo‘lsin.
Ta’rif. Agar bo‘lib, dan ekanligi: dan ekani kelib chiqsa, sistemaga algebra deyiladi. Agar shart o‘rniga dan ekanligi kelib chiqsa deb olsak, unda sistemaga lgebra (yoki to‘plamlarning Borel maydoni) deyiladi.
Shunday qilib, algebrada chekli sondagi qism to‘plamlar ustida bajariladigan birlashma, kesishma va to‘ldirma kabi amallar bizni shu sistemadan tashqariga olib chiqmaydi. algebrada esa sanoqli sondagi qism to‘plamlar ustida bajariladigan bu amallar bizni sistemadan tashqariga olib chiqmaydi.
Agar to‘plam va uning qism to‘plamlaridan iborit algebra berilgan bo‘lsa, u holda o‘lchovli fazo berilgan deyiladi va u kabi belgilanadi.
Intervallarni o‘z ichiga oluvchi barcha algebralarni qaraymiz (bunday algebra hech bo‘lmaganda bitta topiladi, chunki berilgan to‘plamning barcha qism to‘plamlari majmuasi, ravshanki, algebrani tashkil qiladi). Barcha bunday algebralarning ko‘paytmasi yana algebra bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas. Bu algebra intervallarni o‘z ichiga oluvchi eng kichik algebra yoki dagi to‘plamlarning Borel algebrasi deb aytiladi. Borel algebrasi soddaroq qilib aytganimizda, intervallar ustida sanoqli birlashma, kesishma va to‘ldiruvchi amallarni bajarish bilan hosil qilingan dagi nuqtalar to‘plamlarining majmuasi bo‘ladi. Borel algebrasining elementlari Borel to‘plamlari deb aytiladi. Borel to‘plamlari sinfi etarlicha keng sinflardan hisoblanadi.
intervallar bilan bir qatorda nuqtali to‘plamlar va (a va b lar cheksiz qiymatlar qabul qilishi mumkin) ko‘rinishidagi barcha to‘plamlar hamda ularning chekli yoki sanoqli sondagi birlashmalaridan iborat to‘plam ham Borel to‘plamlari bo‘ladi.
Bu tasdiq masalan, quyidagi ko‘rinishdagi tasavvurdan kelib chiqadi:
.
Shunday qilib, barcha sanoqli to‘plamlar va intervallar yoki kesmalarning sanoqli sondagi birlashmalari ham Borel to‘plami bo‘lar ekan.
to‘plam ko‘pincha muqarrar hodisa deb aytiladi. va aksiomalardan bo‘sh to‘plam ham ga tegishli ekanligi kelib chiqadi, u mumkin bo‘lmagan hodisa deyiladi.
ni ga teskari yoki to‘diruvchi hodisa deyiladi. Agar bo‘lsa, va hodisalar birgalikda emas deyiladi.
Endi hodisaning ehtimoli tushunchasini kiritamiz. fazo va algebra tashkil qiluvchi uning biror qism to‘plamlari sistemasi ni qaraymiz.
Ta’rif. ehtimollik o‘lchovli fazoda aniqlangan va quyidagi hodisalarga ega bo‘lgan sonli funksiyadir.
: Har qanday uchun ,
:
: agar hodisalar ketma-ketligi juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmasa (ya’ni bo‘lsa), u holda .
- aksiomani unga teng kuchli bo‘lgan quyidagi uzluksizlik aksiomasi bilan almashtirish mumkin.
: Agar hodisalar ketma-ketligi uchun shart bajarilib,
bo‘lsa, u holda da bo‘ladi.
Isbot: Faraz qiliylik, bajarilsin, u holda hodisalar ketma-ketligi juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalar bo‘ladi va tenglik har qanday uchun bajariladi. Endi aksiomadan foydalanib,
yaqinlashuvchi qatorni hosil qilamiz. Bunga asosan da
.
Bu esa aksiomadir. Aksincha, agar juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalar ketma-ketligi bo‘lsa, u holda
va
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Oxirgi tenglik dan kelib chiqadi. Ehtimollar nazariyasining bu ko‘rinishdagi aksiomatikasi A.N.Kolmogorov tomonidan ta’rif qilingan. Kiritilgan aksiomalar sistemasi to‘la va o‘zaro zid emas.
Ta’rif: uchlik ehtimollik fazosi deyiladi. dagi ehtimollik ayrim hollarda ehtimollarning dagi taqsimoti yoki oddiygina qilib dagi taqsimot deb ham aytiladi.
ehtimollik fazosini qurish u yoki bu tajribaning matematik molelini tuzishdagi asosiy bosqichdir.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
