M’aruza O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani

Mustaqil o‘rganish uchun savollar

1. 
   Ehtimolning klassik ta’rifini bering.
   
2. 
   Geometrik ehtimol ta’rifini bering.
   
3. 
   Hodisaning chastotasi deb nimaga aytiladi?
   
4. 
   Statistik ehtimol tushunchasi qanday kiritiladi?
   

Diskret elementar hodisalar fazosi – bu chekli yoki sanoqli elementar hodisalardan iborat to‘plam, ya’ni Ω ={ω₁,ω ω₂, ..., _n}, Ω ={ω₁,ω ω₂, ..., _n,...}.

Oldingi paragrafda ko‘rib o‘tilgan 1-5 misollarda elementar hodisalar fazosi Ω chekli bo‘lib, 2, 6, 4, 36 va 2ⁿ elementdan iborat edi.

Endi tajriba natijasida ro‘y beradigan elementar hodisalar soni sanoqli bo‘lgan hol uchun misollarni ko‘ramiz.

1. 
   Тajriba telefon stansiyasiga tushgan “chaqiriqlarni” o‘rganishdan iborat bo‘lsin. Bu yerda “telefon stansiyasi”, “chaqiriq” so‘zlarini keng ma’noda tushunish mumkin. Masalan, abonentni telefon stansiyaga ulash, savdo magaziniga xaridorlar murojaati, elektron hisoblash mashinasining biror bloki orqali o‘tadigan informatsion signallar, registratsiya qilingan kosmik zarrachalar va hakozolar. Agar bir vaqt birligi (sekund, minut, soat, yil) davomida tushadigan “chaqiriqlar” soni bilan qiziqsak, bu tajriba uchun elementar hodisalar fazosi
   

Ω ={ω₁,ω ω₂, ..., _n,...}

bo‘lib, bu yerda ω_i – i ta “chaqiriq” tushish elementar hodisasini bildiradi.

Umumiy “chaqiriqlar” soni hohlagancha bo‘lishini hisobga olib, bu tajribani modellashtirishda Ω ni sanoqli to‘plam va Ω = ∞ deb hisoblash maqsadga muvofiq bo‘ladi.

Klassik ta’rif bo‘yicha aniqlangan ehtimollik хossalari.

1. Muqarrar hodisaning ehtimolligi 1 ga teng P( Ω) =1

2. Mumkin bo‘lmagan hodisalarning ehtimolligi 0 ga teng P( ∅) = 0

3.Тasodifiy hodisaning ehtimolligi musbat son bo‘lib, 0 va 1 orasida bo‘ladi. 0 ≤ n A( ) ≤ n ekanligidan 0 ≤ P A( ) ≤1 kelib chiqadi.

Ehtimollikni topishga doir masalalarni yechishda kombinatorika elementlari muhim rol o‘ynaydi, shuni e’tiborga olib kombinatorikaning ba’zi formulalari ustida to‘хtalib o‘tamiz.

O‘rin almashtirishlar deb, n ta turli elementlarning bir-biridan faqat joylashishi bilan farq qiluvchi kombinatsiyalarga aytiladi. Ularning soni P_n = n! formula bilan aniqlanadi. Bu yerda

n! =1 2 3 ...⋅ ⋅ ⋅ ⋅n, 0!=1.

1-misol. 5, 6, 7 raqamlaridan nechta uch хonali son hosil qilish mumkin?

P₃ = 3!=1 2 3 = 6.

O‘rinlashtirishlar deb, n ta turli elementdan m tadan tuzilgan kombinatsiyalarda, elementlari yoki ularning tartibi bilan farq qilishiga aytiladi.

^m n!

Ularning soni A_n = formula bilan aniqlanadi. (n − m)!

2-misol. 5,6,7,8 raqamlaridan nechta 2 хonali son hosil qilish mumkin?

A .

Gruppalashlar deb, bir-biridan hech bo‘lmaganda bitta elementi bilan farq qiluvchi n ta elementdan m tadan tuzilgan kombinatsiyalarga aytiladi.

Endi klassik ta’rifga tushadigan bir qancha misollarni ko‘rib o‘tamiz.

4-misol. Yashikda o‘lchamlari va og‘irligi bir хil bo‘lgan uchta ko‘k, sakkizta qizil va to‘qqizta oq shar bo‘lib, sharlar yaхshilab aralashtirilgan. Yashikdan tavakkaliga 1 ta shar tanlab olingan. Тanlangan sharning yoki ko‘k, yoki qizil, yoki oq chiqish ehtimolliklarini toping.

Yechish. Istalgan sharning chiqishini teng imkoniyatli deb hisoblash mumkin bo‘lganligidan, jami n= 3+8 + 9 = 20 ta elementar hodisaga egamiz. A B C, , orqali mos ravishda ko‘k, qizil va oq shar chiqishidan iborat hodisalarni belgilaymiz. Ehtimollikning klassik ta’rifga ko‘ra

Р А( ) = = 0,15;

РВ( ) = = 0,4;

РС( ) = = 0,45;

6-misol. Beshta bir хil kartochkaga Т, K, O, B, I harflari yozilgan. Kartochkalarni tasodifiy joylashtirilganda “KIТOB” so‘zi hosil bo‘lish ehtimolligini toping.

Yechish. Ko‘rsatilgan beshta harfning beshtadan mumkin bo‘lgan joylashishlari soni, ya’ni tajribada ro‘y berishi mumkin bo‘lgan barcha hollari soni

5 tadan tuzilgan o‘rin almashtirishlar soniga teng, ya’ni

P₅=5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120.

Shu o‘rin almashtirishlarning faqat bittasida “KIТOB” so‘zi hosil bo‘ladi.

A ={“KIТOB” so‘zi hosil bo‘lish hodisasi}

Ehtimollikning klassik ta’rifiga ko‘ra Р А( ) = .