M’aruza O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani

Teorema. Agar o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdorlar ixtiyoriy uchun Lindeberg shartini qanoatlantirsa, u holda da



^{munosabat ga nisbatan tekis bajariladi.}

Isbot. Qisqalik uchun quyidaga belgilashlarni kiritamiz:

Ravshanki,



<sup>va, demak,

(4)</sup>

Bu belgilashlarda Lindeberg sharti quyidagi ko‘rinishni olishiga ishonch hosil qilish qiyin emas:

(3^’)

yig‘indining xarkteristik funksiyasi

ga teng, bu yerda

Teoremani isbotlashimiz uchun yig‘indi tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi da normal taqsimotning xarakteristik funksiyasi ga ^{yaqinlashishini, ya’ni}



ekanligini ko‘rsatish kifoya.

Shu maqsadda eng avval, ko‘paytuvchi da ga nisbatan 1 ga tekis intilishini ko‘rsatamiz.

Haqiqatdan ham, tenglikni e’tiborga olib,



^{ni hosil qilamiz. Ma’lumki ixtiyoriy son}

(5)

tengsizlik o‘rinli *). U holda

.

-ixtiyoriy musbat son bo‘lsin, u holda



^{ekanligi ravshan.}

Oxirgi ko‘shiluvchini (3) ra asosan etarlicha katta p larda dan kichik qilish mumkin.

SHunday qilib, etarlicha katta barcha p lar uchun va shartni qanoatlantiruvchi t larda ga, nisbatan tekis ravishdabo‘ladi.

Bundan barcha lar uchun

(6)

xulosaga kelamiz va ning ixtiyoriy chekli oraliqdagi qiymatlarida etarlicha katta p lar uchu

(7)

tengsizlik bajariladi. Demak, biz oraliqda

. (8)

Bu tengsizlik va unga o‘xshash tengsizliklarning butun seriyasini quyidagi yo‘l bilan keltirib chiqarish mumqin:



bo‘lganidan



tengsizlik kelib chiqadi. Oxirgi tengsizlikdan so‘ng

(5’) {U)

tengsizlik kelib chiqadi.

^{yoyilmani yozishimiz mumkin, bu yerda}

.

(7) ga asosan

bo‘ladi. Ravshanki,

.

U holda



^{tengsizlikni hosil qilamiz.}

(6) dan ixtiyoriy chekli oraliqda da

(9)

munosabat ga nisbatan tekis bajarilishi kelib chiqadi. Biroq

, (10)

bu yerda

.

^{ixtiyoriy son bo‘lsin, u holda (4) ga asosan}

(5) va (5*) tengsizliklar quyidagi bahoni olish imkonini beradi:

(3)-shartga ko‘ra ikkinchi qo‘shiluvchini ixtiyoriy uchun har qanday dan kichik qilib olish mumkin, faqat etarlicha katta bo‘lsa etarli. son esa ixtiyoriy, u holda uni shunchalik kichik qilib tanlaymizki, va lar qanday bo‘lganida ham ^{shartni qanoatlantiruvchi barcha t lar uchun} tengsizlik bajarilsin. Bu tengsizlik t ning har bir chekli oraliqdagi qiymatlarida

munosabatning tekis bajarilishini ko‘rsatadi. (8), (9), (10) va (11) munosabatlarni birga yig‘ib, uzil-kesil t ning har bir chekli oralig‘ida



munosabat tekis bajarilganini hosil qilamiz. Teorema isbot bo‘ldi.