M’aruza O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani

V2n

dx

(x—a )² _? 2a²

d- +-

a

a

aV2n

'jj

J

(x—a )²
2a²

d- -
Yechish. Ta’rifga asosan

- x z

= —-j== J ze ² dz + a = a

ad2n —X

Demak, (a, a²) parametrli normal qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi a parametrga teng ekan.

5. 
   misol. v parametrli eksponensial qonun bo‘yicha taqsimlangan т tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi:
   

^x 1

Et = J xve~^vxdx = —.

J 1/

6. 
   misol. [a, b] oraliqda tekis taqsimlangan % tasodifiy miqdorning
   

b + a

2

a
matematik kutilmasi quyidagicha topiladi:

2. 
   ta’rif. Taqsimot funksiyasi F(x) bo‘lgan tasodifiy miqdorning matematik
   

x

kutilmasi E%= J xdF(x) kabi aniqlanadi.

—x





P (^x)

1

n(l + x²)

|x|
Tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmasi hamma vaqt ham mavjud bo‘lavermasligini eslatib o‘tamiz. Masalan, tasodifiy miqdor Koshi qonuni bilan taqsimlangan bo‘lsin, uning zichlik funksiyasi

ko‘rinishda bo‘ladi va integral

—X

mavjud bo‘lmaydi.

Matematik kutilmaning ehtimollik ma’nosi

% tasodifiy miqdor ustida n ta bog‘liqsiz tajriba o‘tkazilgan bo‘lsin. Tajriba natijalari ushbu jadvalda keltirilgan:

%^{: x}1 X2 ... X_k

n: n₁ n₂ ... n_k

Yuqori satrda % miqdorning kuzatilgan qiymatlari, pastki satrda esa mos qiymatlarning chastotalari ko‘rsatilgan, ya’ni n₁ son n₁ ta tajribada % miqdor х₁ ga teng qiymat qabul qilinganligini bildiradi va hakozo.

X orqali kuzatilgan barcha qiymatlarning o‘rta arifmetigini belgilaylik, u

holda,

Ehtimollikning klassik ta’rifi. Ehtimollikning statistik ta’rifi 7

Ehtimollikning geometrik va statistik ta’riflari 11

Tasodifiy miqdor tushunchasi 43

Diskret tasodifiy miqdorlar 43

Binomial taqsimot 44

Tasodifiy miqdorlar dispersiyasi 46

J 51

ni hosil qilamiz, unga gistogramma deyiladi. Guruhlash gistogramma asosida statistik taqsimot funksiyasini taqriban yasash mumkin. 90

Olingan materiallarni keyingi qayta ishlash quyidagicha amalga oshiriladi. 90

Bu yerda p*, p*,...,p* - mos ravishda x,, x₂, ..., x_k qiymatlarning nisbiy chastotalari. Tajribalar soni yetarlicha katta bo‘lganda p* « p₂,..., p* « p_k bo‘ladi.

Shuning uchun X « E%, ya’ni % tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi uning kuzatiladigan qiymatlari o‘rta arifmetigiga taqriban teng.

Matematik kutilma quyidagi xossalarga ega:

1. 
   xossa. O‘zgarmas sonning matematik kutilmasi shu sonning o‘ziga teng. Isbot: c o‘zgarmas sonni faqat bitta c qiymatni 1 ehtimollik bilan qabul
   

qiluvchi tasodifiy miqdor deb qarash mumkin. Shuning uchun Ec = c • 1 = c

2. 
   xossa. \E%\ tengsizlik o‘rinli.
   

Bu xossaning isboti matematik kutilmaning ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.

3-xossa. E£, En va E(£ + n) laming ixtiyoriy ikkitasi mavjud bo‘lsa, u holda ushbu E(£ + n) = E£ + En tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot. Isbotni diskret hol uchun keltiramiz. Faraz qilaylik, £ tasodifiy miqdor x₁, x₂, ..., x_k,... qiymatlarni mos ravishdap₁, p₂, ..., p_k, ..., ehtimolliklar bilan, n tasodifiy miqdor esa y₁,y₂, ...y_k, qiymatlarni mos ravishda q₁, q₂, . q_k,

., ehtimolliklar bilan qabul qilsin, u holda £ + n yig‘indining qabul qiladigan qiymatlari {x_k + y_t} (k = 1,2,.., l = 1,2...) ko‘rinishdagi sonlardan iborat.

^E(^£+n)=Z(^xk+yi)k,i =Z^xk Zpk,i +Zyi Zpk,i
p_kl orqali £ ning x_k va n ning y qiymatlarni qabul qilish ehtimolligini belgilaymiz. U holda to‘la ehtimollik formulasiga asosan

1-natija. £,£,..., £_n tasodifiy miqdorlar yig‘indisining matematik kutilmasi shu tasodifiy miqdorlar matematik kutilmalarining yig‘indisiga teng, ya’ni


E Z£k = ZE£ .
v k=1 у k=1

2. 
   xossa. O‘zgarmas sonni matematik kutilma ishorasidan tashqariga chiqarib yozish mumkin: Ec£ = cE£, c = const.
   

Isbot. Isbotni diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun alohida-alohida keltiramiz.

1-ta’rifdan va (1) dan foydalanib, diskret tasodifiy miqdor uchun ushbu

^E (^c£)=Z ^cx_lp_l=^cZ ^xp=^cE£

natijani hosil qilamiz.

—

—
(2) formulaga asosan uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ushbu

2. 
   xossa. % va r tasodifiy miqdorlar o‘zaro bog‘liq bo‘lmasin. Agar E% va Ej mavjud bo‘lsa, u holda E%r mavjud bo‘ladi va E%r = E% • Ej .
   

Isbot. Faraz qilaylik, % tasodifiy miqdor x₁₅x₂,...,x_kqiymatlarni mos ravishda p₁,p₂,...,p_kehtimolliklar bilan, n tasodifiy miqdor y₁,y₂,...,y_k qiymatlarni mos ravishda q₁, q₂,..., q_k,... ehtimolliklar bilan qabul qilsin.

% va rj tasodifiy miqdorlar o‘zaro bog‘liqsizligidan % • n tasodifiy miqdor x_t • y ko‘rinishdagi qiymatlarni p_iq_j ehtimollik bilan qabul qiladi, natijada

^E%r=E (%=^xi n=yj)=E Wjpqj =

ij ⁱ J



E%Ej.
E^x
_tq,

¹ V j У

teoremaning teskarisi doim ham to‘g‘ri emas, ya’ni E%r = E%Ej dan % va r ning o‘zaro bog‘liq bo‘lmasligi kelib chiqmaydi.

2. 
   xossa. Agar a <%< в bo‘lsa, a < E% < в.
   
3. 
   xossa. Agar nomanfiy % tasodifiy miqdor uchun E% = 0 bo‘lsa, u holda % = 0 tenglik 1 ehtimollik bilan bajariladi.
   

Yuqoridagi 6 va 7 xossalarni isbotini talabalarga havola qilamiz.

9-Ma’ruza Dispersiya va uning xossalari. O’rtacha kvadratik chetlanish
Ko’pchilik amaliy jihatdan muhim bo’lgan hollarda tasodifiy miqdorning uning matematik kutilmasidan chetlanishi x-Mx ni baholash kerak bo’lib qoladi.

Dastlab bitta misol ko’ramiz. Ikkita x va h miqdor quyidagi taqsimot qatorlari bilan berilgan bo’lsin:

x ning qiymatlari 0,2 0,1 0,1 0,2

p(x) ehtimollar 0,25 0,25 0,25 0,25

x ning qiymatlari 50 40 40 50

p(x)ehtimollari0, 250, 250, 250, 25

Bu tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmalari bir xil va nolga teng ekaniga ishonch hosil qilish oson:

M(x)=(-0,25).0,25+(-0,1).0,25+0,1.0,25+0,2.0,25=0

M(h)=(-50).0,25+(-40).0,25+40.0,25+50.0,25=0

Biroq bu miqdorlar qiymatlarining ularning matematik kutilmasiga nisbatan tarqoqligi bir xil emas. Birinchi holda x tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlar uning matematik kutilmasiga yasin, ikkinchi holda esa uzoq. Tasodifiy miqdor qiymatlarining uning matematik kutilmasi atrofida tarqoqligini (sochilishini) baholash uchun yangi sonli xarakteristika-dispersiya tushunchasi kiritiladi.

x tasodifiy miqdorning dispersiyasi D(x) deb tasodifiy miqdorning uning matematik kutilmasidan chetlanishi kvadratining matematik kutilmasiga aytiladi.

D(x) = M[x-M(x)]² (34)

x₁,x₂,...,x_n siymatlarni mos ravishda p₁, p₂,...,p_n ehtimollar bilan sabul siluvchi x diskret tasodifiy misdor berilgan bo’lsin. Ravshanki, [x-M(x)]² tasodifiy misdor

[x₁-M(x)]², [x₂-M(x)]²,...,[x_n-M(x)]ⁿ

siymatlarni shu p₁,p₂,...,p_n ehtimollar bilan sabul siladi. Demak, diskret tasodifiy misdorning matematik kutilmasi ta'rifiga ko’ra suyidagiga egamiz:

D(x)=M[x-M(x)]² = [x_i-M(x)]² p_i (35)

Agar x tassimot zichligi j(x) bo’lgan uzluksiz tasodifiy misdor bo’lsa, u holda ta'rifga ko’ra

D(x) = [x‑ M(x)]² j(x)dx (36)

Dispersiya ta'rifini va matematik kutilma xossalarini e'tiborga olib, suyidagiga ega bo’lamiz:

D(x)=M[x-M(x)]² = M{x²-xM(x)+[M(x)]²} =M(x)²-M[xM(x)]+M[M(x)]²

M(x) ва [M(x)]² - o’zgarmas misdorlar bo’lgani uchun matematik kutilma xossalaridan foydalanib, topamiz:

M[x.M(x)]=M(x).M(x) ва M[M(x)]²=[M(x)]².

Демак,D(x)=M(x²)-2M(x)M(x)+[M(x)]² bu erdan, uzil-kesil ushbuni topamiz:

D(x) = M(x²)-[M(x)]² (37)

Endi dispersiyaning xossalarini qarab chisamiz.

3. 
   O’zgarmasning dispersiyasi nolga teng.
   

Isboti. X=C bo’lsin. (37) formulaga ko’ra

D(C) = M(C²) -[M(C)]² = C²-C²=0, chunki o’zgarmasning matematik kutilmasi shu o’zgaruvchining o’ziga teng:

M(C) = С, M(C²) = C².

2. o’zgarmas ko’paytuvchini dispersiya belgisi tashqarisiga uni kvadratga ko’tarib chiqarish mumkin.

D(kx) = k² D(x) (38)

bo’lgani uchun

D(kx) = k²{M(x²)^-[M(x)]²} = k² D(x)

3. Agar x va h erkli tasodifiy miqdorlar bo’lsa, u holda bu miqdorlar yig’indisining dispersiyasi ularning dispersiyalari yig’indisiga teng:

D(x+h) = D(x)+ D(h) (39)