M’aruza O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani

Deskret tasodifiy miqdorlarning o’rta qiymati (matematik kutilma)

Diskret tasodifiy miqdor X o’zining mos taqsimot qonuni bilan berilgan bo’lsin:

X	x1	x2	   	xk	  	xn
P(x=xk)	p1	p2	   	pk		pn

Ta’rif. Diskret tasodifiy miqdorning o’rta qiymati (matematik kutilma) deb shunday M[x] songa aytamizki, u tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan barcha qiymatlari bilan bu qiymatlar ehtimollari ko’paytmalarining yig’indisiga teng:

M[x]=x₁p₁+x₂p₂+...+x_np_n (1)

bunda, p₁+p₂+...+p_n=1 bo’ladi.

Agar tasodifiy miqdorning qiymatlari cheksiz ketma-ketlikni tashkil qilsa, M[x]=x₁p₁+x₂p₂+...+x_np_n... (2)

bo’ladi.

1-misol. O’yin soqqasi tashlanganda tushadigan ochkolar sonining matematik kutilmasini toping.

Echish. X – tasodifiy miqdor o’yin soqqasining yuqori tomonida tushadigan ochkolar soni bo’lib, uning taqsimot qonuni quyidagicha bo’ladi:

X	1	2	3	4	5	6
P

Demak,

2-misol. Ob’ektga qarata o’q uzildi. O’qning tegish ehtimoli p ga teng. O’qning tegish soni tasodifiy miqdor x ning o’rta qiymatini toping.

Echish. M[x]=0(1-p)+1p=p

x	0	1
p	1-p	p

Matematik kutilish quyidagi xossalarga ega.

1⁰. O’zgarmas miqdorning matematik kutilmasini uning o’ziga teng.

2⁰. M[cX] = cM[x]

3⁰. M[x+y] = M[x]+M[y]

4⁰. M[xy] = M[x]M[y]

Tasodifiy miqdorlar dispersiyasi

Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalaridan yana biri dispersiya bo’ladi.

Uni D[x] bilan belgilanadi va u tarqoqlikni bildiradi. Dispersiya tasodifiy miqdorning o’rta qiymatiga nisbatan uning qiymatlari tarqoqligining, sochilganligining sonli xarakteristikasidir.

1-ta’rif. Tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb, tasodifiy miqdor bilan uning o’rta qiymati orasidagi ayirma kvadratining o’rta qiymatiga aytiladi:

D[x]=M[(x-m_x)²] (m_x=M[x])

yoki (1)

2-ta’rif. Tasodifiy miqdorning o’rta kvadratik chetlanishi deb uning dispersiyasidan olingan kvadrat ildiziga aytiladi:

yoki (2)

Eslatma: Hisoblashda (1) va (2) formulalarda quyidagicha o’zgartirish qulay bo’ladi.

D[x]=M[x²]-m_x²

1-misol. Ob’ektga qarata o’q uzilgan. O’qning ob’ektga tegish ehtimoli r. Dispersiyani, o’rtacha kvadratik chetlanishni toping.

Echish. O’qning tegish sonlarining qiymatlari jadvalini tuzamiz:

x	1	0
p	r	q=1-p

2-misol. X tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot qonuni yoki taqsimot ko’pburchagi bilan berilgan 1) o’rta qiymatni, 2) dispersiyani, 3) o’rta kvadratik chetlanishni aniqlang.

x	2	3	4
r	0,3	0,4	0,3

Echish. 1. M[x]=20,3+30,4+40,3=3

2. D[x]=(2-3)²0,3+(3-3)²0,4+(4-3)²0,3=0,63

3.

Tekshirish uchun savollar va mashqlar

1. 
   Tasodifiy miqdor deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Taqsimot qonuni nima?
   
3. 
   Diskret tasodifiy miqdorga ta’rif bering.
   
4. 
   Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni qanday beriladi?
   
5. 
   Binomial ehtimol qanday formula bilan topiladi?
   
6. 
   Binomial taqsimot qonuni qanday bo’ladi?
   
7. 
   Diskret tasodifiy miqdorning o’rta qiymati (matematik kutilishi) deb nimaga aytiladi? Uning qanday xossalari bor?
   
8. 
   Tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb nimaga aytiladi?
   
9. 
   Tasodifiy miqdorning o’rta kvadratik chetlanishi deb nimaga aytiladi?
   
10. 
    X diskret tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni (jadvali) bilan berilgan
    

x	1	2	4	8
r	0,1	0,3	0,2	0,4

Taqsimot ko’p burchagini yasang.

11. 
    Qurilma bir-biridan erkli ishlaydigan uchta elementdan iborat. Har bir elementning bitta tajribada ishdan chiqish eHtimoli 0,2 ga teng. Bitta tajribada ishdan chiqqan elementlar sonining taqsimot qonunini tuzing.
    
12. 
    Ikkita o’yin soqqasi bir vaqtda ikki marta tashlandi. x diskret tasodifiy miqdor – ikkita o’yin soqqasida juft ochkolar tushish sonining binomial taqsimot qonunini yozing.
    
13. 
    Quyida taqsimot qonuni bilan berilgan x diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishini toping.
    

x	0,21	0,45	0,69
r	0,2	0,5	0,3

14. 
    Agar x va u ning matematik kutilishi ma’lum bo’lsa, z=3x+4y, (M[x]=2, M[y]=6) tasodifiy miqdorning matematk kutilishini toping.
    
15. 
    Ushbu
    

x	-4	1	3	4
r	0,3	0,4	0,1	0,2

taqsimot qonuni bilan berilgan x diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasini va o’rtacha kvadratik chetlanishini toping.

16. 
    x va u tasodifiy miqdorlar erkli. Agar D[x]=5, D[y]=6 ekanligi ma’lum bo’lsa, z=3x+2y tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.
    

uning taqsimot funksiyasi yordamida olish mumkinligi bizga ma’lum. Haqiqatan ham taqsimot funksiya tasodifiy miqdorning qaysi qiymatlarni qanday ehtimolliklar bilan qabul qilishini aniqlashga imkon beradi. Lekin ba’zi hollarda tasodifiy miqdor haqida kamroq ma’lumotlarni bilish ham etarli bo‘ladi. Ehtimolliklar nazariyasi va uning amaliyotdagi tadbiqlarida tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalari orqali ma’lum qoidalar asosida topiladigan ba’zi o‘zgarmas sonlar muhim rol o‘ynaydilar. Bunday sonlar orasida tasodifiy miqdorlarning umumiy miqdoriy xarakteristilalarini bilish uchun matematik kutilma, dispersiya va turli tartibdagi momentlar juda muhimdir.

Tasodifiy miqdorning biz dastlab tanishadigan asosiy sonli xarakteristikasi uning matematik kutilmasidir.

% diskret tasodifiy miqdor {x_k} qiymatlarni {p_k} ehtimolliklar bilan qabul qilsin. Unda,

E Pk = ¹

k=1

1-ta’rif. % diskret tasodifiy miqdorning matematikkutilmasi deb ushbu

^E% = ^xi ■ Pi + ^X2 ■ P₂ + ••• + ^XnPn = E^Xk • Pk

k=1

tenglik bilan aniqlanuvchi songa aytiladi.

Diskret tasodifiy miqdorlarning mumkin bo‘lgan qiymatlari soni cheksiz

bo‘lishi ham mumkin. Bu holda E P_k = 1 va matematik kutilmani ta’riflash uchun

k=1

^E% = ^X1 ■ Pi + ^X2 ■ Pi + ... + ^Xk ■ Pk + ... = E^XP ⁽¹⁾

i=1

qatordan foydalaniladi. Matematik kutilma mavjud bo‘lishi uchun (1) qatorni absolyut yaqinlashuvchi deb faraz qilinadi.

Ba’zi misollarni qarab chiqamiz.

1. 
   misol. A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi P ga teng bo‘lsa, bitta tajribada A hodisa ro‘y berish sonining matematik kutilmasini toping.
   

Yechish. Bitta tajribada A hodisaning ro‘y berish sonini % deb belgilaylik. U

holda

%: 0 1 P: q P ’

bu erda p + q = 1 va 1-ta’rifga asosan, E% = 0 ■ q +1 ■ p = p .

2. 
   misol. (n,p) parametrli binomial qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.
   

Yechish: % orqali A hodisaning n ta bog‘liqsiz tajribalarda ro‘y berish sonini belgilasak, P(% = к) = C^k_np^kqⁿ~^k tenglik o‘rinli ekani bizga ma’lum .Matematik kutilma ta’rifiga ko‘ra

^E% = £ ^к ■^p (% = к) = £ ^к ■ ^Cn,p^kqⁿ~^k =ⁿp£ ^C^p^k~¹qⁿ~^k = ⁿP (q + p ) = ⁿ ■ p.

к=1 к=1 к=1

3. 
   misol. Puasson qonuni bilan taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.
   

Am

Yechish: P(% = m) = — e~^л, m = 0,1,2,... tenglik o‘rinli ekani bizga

m!

ma’lum.

Uning taqsimot qonunini ushbu jadval ko‘rinishida yozamiz.

Xi	0	1	2		m
pi	e~^л	-e- 1!	-2 в^л 2!		s ^ a to i

7 7 2 om

E% = 0 ■ e ~^л +1 —e^ + 2 ■ — e ~^л +... + m—e ~^л +... =

1

2!

= Лe

-л

^r. . л² л

1 + Л + + ... + 7

У 2! (m -1)

m!

m—1 Л

+ ...

J
Matematik kutilmasi uchun quyidagiga ega bo‘lamiz:

Qavs ichidagi qator e^л funksiyaning Makloren qatoriga yoyilmasidir. Shuning uchun matematik kutilma E% = л. Shunday qilib, biz Puasson taqsimot qonuniga kirgan Л parametrning ehtimolliy ma’nosini topdik: Л parametr tasodifiy miqdorning matematik kutilmasiga teng.

% uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi p(x) bo‘lsin.

2. 
   ta’rif. Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi deb, ushbu
   

E% =| x ■ p (x }dx

—

integralga (agar bu integral absolyut yaqinlashuvchi bo‘lsa) aytiladi.

4. 
   misol. (a, a²) parametrli normal qonun bilan taqsimlangan tasodifiy
   

miqdorning matematik kutilmasini toping.














^x 1 ^x a

(-—a )²
2a²