M’aruza O‘zbekistonda ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika fani

Chebishev tengsizligi. Agar tasodifiy miqdor chekli dispersiyaga

ega bo‘lsa, u holda ixtiyoriy son uchun ushbu tengsizlik o‘rinli bo‘ladi:

(1) (1)

Isbot. (1) tengsizyaik Chebishevga mansub bo‘lgan boshqa tengsizlikning natijasidir: agar tasodifiy miqdor faqat manfiy bo‘lmagan qiymatlarnigina qabul qilishi mumkin bo‘lib, chekli matematik kutilmaga ega bo‘lsa, u holda uning birdan kichik bo‘lmagan qiymatlarni qabul qilish ehtimoli shu tasodifiy. miqdorning matematik kutilmasidan katta emas:

. (2)

Haqiqatdan ham, agar X diskret tasodifiy miqdor bo‘lsa, u holda

.

Bu tenglikning o‘ng tomonidagi har bir qo‘shiluvchini ga ko‘paytirsak, u holda o‘ng tomon kamaymaydi, chunki . Unda biz ushbu

tengsizlikni hosil qilamiz. Bu tengsizlikning o‘ng tomonidagi jamlashni tasodifiy miqdorning barcha mumkin bo‘lgan qiymatlari bo‘yicha olsak, bunda tengsizlik faqat kuchayadi. Demak,

, (3)

chunki oxirgi yig‘indi ta’rifga ko‘ra ning matematik kutilmasiga tengdir. Bu esa (2) tengsizlikni tasodifiy miqdor diskret bo‘lgan hol uchun isbotlaydi.

Endi taqsimot zichligi bo‘lgan absolyut uzduksiz tasodifiy miqdor bo‘lsin. ning qiymatlari manfiy emas deb qilgan farazimizga asosan bo‘lganda ayniyat o‘rinlidir. Diskret tasodifiy miqdor uchun yozilgan (3) tengsizlikka o‘xshash tengsizlikni undagi yig‘indini integral bilan almashtirib, bu hol uchun ham yoza olamiz:

(4)

(4) formula (2) tengsizlik absolyut uzluksiz tasodifiy miqdor uchun

ham o‘rinli ekanligini isbotlaydi.

Endi biz (1) tengsizlikni tekshirishga qaytamiz. Unda qatnashayotgan

hodisa ^{hodisaga teng kuchlidir.}

tasodifiy miqdor manfiy bo‘lmagan qiymatlarnigina qabul qiladi, shuning uchun unga (2) tengsizlikni qo‘llash mumkin. Natijada ushbu

<sub>^-

yoki</sub>

tengsizlikni hosil qilamiz. Ana shuni isbotlash talab qilingan edi.

Agar hodisadan unga qarama-qarshi

hodisaga o‘tsak, u holda (1) tengsizlikni unga ekvivalent bo‘lgan formada yozish mumkin. Bu holda biz

^{tengsizlikni hosil qilamiz.}