Maple7 dasturi yordamida Oliy matematika masalalarini yechish

8.1.1-misol. funksiyaning aniqlanish va o‘zgarish sohalari topilsin.
Yechish. Bu funksiyaning aniqlanish sohasi tengsizlik yechimidir:
.
Bu tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar markazi koordinatalar boshida radiusi 1 ga teng bo‘lgan aylanada va uning ichida yotishi ravshandir (8.2-rasm).
Demak, .
O‘zgarish sohasi

8.1.2-misol. funksiyaning aniqlanish va o‘zgarish sohalari topilsin.
Yechish. Aniqlanish sohasini toaylik:

Bu tengsizlikni koordinatalar tekisligining markazi koordinatalar boshida radiusi 2 ga teng bo‘lgan aylanadan tashqarida yotgan nuqtalari qanoatlantiradi, ya’ni (8.3-rasm).
O ‘zgarish sohasi bo‘lishini ko‘rish qiyin emas. Agar ikki o‘zgaruvchili funksiya biror D sohada aniqlangan bo‘lsa, fazoda Oxyz Dekart koordinatalar sistemasini kiritib, bo‘lganda nuqtani qurib, ni D soha bo‘ylab harakatlantirsak, nuqta
fazoda qandaydir sirtni nuqtalarini aniqlaydi. Bu sirt ikki o‘zgaruvchili funksiyaning grafigi (geometrik tasviri) dir (8.4-rasm).
Kezi kelganda, funksiyani uch o‘zgaruvchili tenglama ko‘rinishida ifodalash mumkinligini hisobga olsak, uch o‘zgaruvchili tenglama fazoda biror sirtni aniqlashini eslatamiz (buni 6,7- boblarda ko‘rgan edik).


8.2. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning limiti

Agar n o‘lchovli to‘lamda funksiya berilgan bo‘lib, M₀ nuqta D ning quyuqlik nuqtasi bo‘lsa, funksiyaning bu nuqtadagi limiti tushunchasini quyidagicha kiritiladi.

8.2.1-ta’rif. Agar M₀ nuqta D to‘lamning quyuqlik nuqtasi bo‘lib, son uchun shunday son mavjud bo‘lsaki, M₀ nuqtaning yaqin atrofidan olingan nuqtalarda, ya’ni to‘lamda
(8.2.1)
o‘rinli bo‘lsa, b son f(M) funksiyaning dagi yoki M₀ nuqtadagi limiti deyiladi, hamda
(8.2.2)
kabi yoziladi.
Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning limitining ta’rifi bir o‘zgaruvchili funksiyaning limitining ta’rifi bilan aynan bir xilligidan limitlar haqidagi teoremalar va xossalar hamda asosiy formulalar bu yerda ham o‘rinlidir.
Masalan,

ekanligini ko‘rish qiyin emas, chunki, va limit ostidagi funksiya nuqta yaqin atrofida aniqlangan bo‘lib, birinchi ajoyib limitga ko‘ra yuqoridagi tenglik kelib chiqadi.
Bu yerda funksiyaning limiti tushunchasidan tashqari uning takroriy limitlari tushunchasi ham mavjud ekanini aytamiz. Bu tushunchani ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun keltiramiz (soddalik uchun).

nuqtadagi funksiya limiti;
va
- lar esa takroriy limitlardir.
Masalan, takroriy limitni topishda, avval, x tayinlangan (o‘zgarmas) va deb faraz qilib, topiladi (agar mavjud bo‘lsa), so‘ngra, limit topiladi (mavjud bo‘lsa). da esa, avval, , keyin topiladi.
Bu yerda shuni ham takidlaymizki, ning mavjudligidan takroriy limitlarning mavjud ekanligi hamma vaqt ham kelib chiqavermaydi. Buning aksinchasi ham hamma vaqt o‘rinli bo‘lavermaydi.
Masalan: 1) funksiya koordinatalar boshida aniqlanmagan bo‘lib, tekislikning boshqa barcha nuqtalarida mavjuddir. Uning O(0;0) nuqtadagi limitlarini qaraylik.

Ammo, - mavjud emas. Buni ko‘rsatish uchun intilish to‘g‘ri chiziq bo‘ylab deb faraz qilsak, u vaqtda,

bo‘lib, turli k larda turli qiymatlar kelib chiqadi. Ya’ni limit M nuqtaning O(0; 0) nuqtaga intilish chizig‘iga bog‘liqdir. Agar mavjud bo‘lganda intilish qanday bo‘lishiga bog‘liq bo‘lmasligi kerak edi. Demak, limit mavjud emas ekan.
funksiya grafigi: