Maple7 dasturi yordamida Oliy matematika masalalarini yechish

> restart;
> f:=(x,y)->x*y/(x^2+y^2);
> plot3d(f(x,y),x=-3..3,y=-3..3,axes=BOXED);

2) funksiyani olsak, u sohada aniqlangandir. Bu funksiyaning nuqtadagi limitini va takroriy limitlarini tekshirib ko‘raylik:
a) - limit mavjud, chunki,
b)
c) - mavjud emas, chunki, bo‘lganda, tayinlangan x uchun - mavjud emasdir.
funksiya grafigi:
> restart;
> f:=(x,y)->x*sin(1/y);
> plot3d(f(x,y),x=-4..4,y=-4..4,axes=BOXED);

Funksiyaning limiti va uning takroriy limitlarining orasidagi munosabatni aniqlovchi quyidagi teorema isbotlangandir (soddalik uchun uni ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun keltiramiz).
8.2.1-teorema. Agar
1) chekli yoki cheksiz

limit mavjud va
2) y argumentning b ga yetarlicha yaqin qiymatlari uchun

limit mavjud bo‘lsa, u vaqtda, takroriy

limit ham mavjud va A ga teng bo‘ladi.
Aytaylik, funksiyaning aniqlanish sohasi ning nuqtasining birinchi koordinatasi x absolyut qiymat jixatdan xoxlagancha katta qiymat qabo‘l qila olsin, ikkinchisi y esa b songa yaqinlashsin. U vaqtda, ning quyuqlik nuqtasi deyishga shartlashib olgan holda quyidagi ta’rifni berish mumkin.
Agar funksiyaning aniqlanish sohasi ning quyuqlik nuqtasi bo‘lib, uchun shunday sonlar topilsaki, tengsizliklarni qanoatlantiruvchi nuqta uchun o‘rinli bo‘lsa, A son ning quyuqlik nuqtasidagi funksiyaning limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
Agar bu ta’rifda o‘rnida tengsizlik ishlatilsa, va nihoyat, o‘rnida tengsizlik ishlatilsa, A o‘rnida
yoziladi.
X uddi shunga o‘xshash, ning yoki quyuqlik nuqtasidagi funksiyaning limiti tushunchasi ham kiritiladi.